Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bạn tự vẽ hình nhé

$1)$ Ta có: Đường kính $PQ$ cắt dây $AB$ của $(O)$ tại $D$, $P$ là chính giữa cung $AB$ lớn

$⇒AB⊥PQ$ tại $D$

$⇒∠PDI=∠PDC=90^o$

Ta có: $∠PMQ=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$⇒∠PMI=∠CMI=90^o$

Xét tứ giác $DIMP$ có $∠PDI+∠PMI=90^o+90^o=180^o$

$⇒$ Tứ giác $DIMP$ nội tiếp (Tứ giác có tổng $2$ góc đối bằng $180^o$) (đpcm)

$2)$ Xét $ΔCMI$ và $ΔCDP$ có:

$∠CMI=∠CDP=90^o$

$∠PCD$ chung

`⇒ΔCMI~ΔCDP` (góc - góc)

`⇒\frac{CM}{CD}=\frac{CI}{CP}⇒CM.CP=CI.CD(đpcm)`

1.

$\widehat{PMQ}=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{PQ}=90^o$ 

$AB$ là dây cung cắt đường kính $PQ$ nên $AB\bot PQ=D$ với $D$ là trung điểm $AB$.

$\to \widehat{PDI}=90^o$

Tứ giác $DIMP$ có $\widehat{PDI}+\widehat{PMI}=90^o+90^o=180^o$

Vậy tứ giác $DIMP$ là tứ giác nội tiếp.

b,

$\widehat{IMC}=180^o-\widehat{PMQ}=90^o=\widehat{CDP}$

Mà $\widehat{DCP}$ chung nên $\Delta CMI\backsim\Delta CDP$ (g.g)

$\to \dfrac{CM}{CI}=\dfrac{CD}{CP}$

$\to CM.CP=CI.CD$