`3)` $K$ và $D$ đối xứng qua $H$ (gt)

`=>BH`$\perp DK$ tại trung điểm $H$ của $DK$

`=>BH` là trung trực và đường cao, đường trung tuyến của $∆BDK$

`=>∆BDK` cân tại $B$

`=>BH` là phân giác `\hat{DBK}`

`=>\hat{KBH}=\hat{DBH}=\hat{HAI}` (cùng chắn cung $DC$)

Mà `\hat{HAI}+\hat{ACH}=90°` (do $∆ACH$ vuông tại $H$)

`=>\hat{KBH}+\hat{ACH}=90°`

`=>\hat{IBC}+\hat{ICB}=90°`

`=>∆IBC` vuông tại $I$

`=>BI`$\perp AC$ tại $I$

`=>∆AIK` vuông tại $I$

`=>IN` là trung tuyến $∆AIK$ (do $N$ là trung điểm $AK$)

`=>IN=AN=1/ 2 AK`

`=>∆AIN` cân tại $N$

`=>\hat{NAI}=\hat{NIA}`

$\\$

Vì `\hat{HNI}` là góc ngoài $∆NAI$

`=>\hat{HNI}=\hat{NAI}+\hat{NIA}=2\hat{NAI}=2\hat{HAI}` $(1)$

$\\$

Gọi $E$ là trung điểm $BC$

`=>IE` là trung tuyến $∆BCI$ vuông tại $I$

`=>IE=BE=1/ 2 BC`

`=>∆EBI` cân tại $E$

`=>\hat{EBI}=\hat{EIB}`

$\\$

Vì `\hat{IEC}` là góc ngoài $∆EBI$

`=>\hat{IEC}=\hat{EBI}+\hat{EIB}=2\hat{EBI}` $(2)$

$\\$

Vì `\hat{HAI}=\hat{KBH}=\hat{EBI}`

Từ `(1);(2)=>\hat{IEC}=\hat{HNI}` 

`=>NHEI` nội tiếp (vì có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>E` thuộc đường tròn ngoại tiếp `∆NIH`

Vì $BC$ cố định nên $E$ cố định

Vậy đường tròn ngoại tiếp $∆NIH$ luôn đi qua trung điểm $E$ cố định của $BC$