Đáp án :

`a,`

`text{Xét ΔABC vuông tại A có :}`

`AB^2 + AC^2 = BC^2` `text{(Pitago)}`

`-> BC^2 = 5^2 + 12^2`

`-> BC^2 = 13^2`

`-> BC = 13cm`

$\\$

$\\$

$b,$

`text{Xét ΔABC và ΔADC có :}`

`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`

`text{AC chung}`

`text{AD = AB (giả thiết)}`

`->` `text{ΔABC = ΔADC (cạnh - góc - cạnh)}`

$\\$

$\\$

$c,$

`text{Vì AE//BC}`

`-> hat{EAC} = hat{BCA}` `text{(2 góc so le trong)}`

`text{mà}` `hat{ECA} = hat{BCA}` `text{(Vì ΔABC = ΔADC)}`

`-> hat{EAC} = hat{ECA} (= hat{BCA})`

`-> ΔAEC` `text{cân tại E}`

$\\$

$\\$

$d,$

`text{Gọi G là giao của CA và BE (1)}`

`text{Xét ΔABC có :}`

`text{CA là đường trung tuyến}`

`text{BE là đường trung tuyến}`

`text{CA cắt BE tại G}`

`->` `text{G là trọng tâm của ΔABC}`

`text{mà DF là đường trung tuyến}`

`->` `text{DF đi qua G (2)}`

`text{Từ (1) và  (2)}`

`->` `text{CA,BE,DF đồng quy tại G}`

a, Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, có:

AB²+AC²=BC²

⇒BC=√(AB²+AC²)=√(5²+12²)=√169=13(cm)

b, Xét ΔABC và ΔADC, có 

Cạnh AC chung

AB=AD (gt)

∠BAC=∠DAC=90 độ

⇒ ΔABC = ΔADC(c-g-c)

c, Từ ΔABC = ΔADC(c-g-c)

⇒∠ACB=∠ACD (hai góc tương ứng)(1)

Theo đề bài: AE//BC

⇒∠ACB=∠CAE (so le trong)(2)

Từ (1) và (2), suy ra: 

∠ACD=∠CAE 

hay ∠ACE=∠CAE 

⇒ΔEAC cân 

d, Do ΔABC = ΔADC(c-g-c)

⇒ ∠ABC=∠ADC( hai góc tương ứng)

mà AE//BC

⇒∠ABC=∠DAE(đồng vị)

⇒∠ADC=∠DAE

⇒ΔDAE cân

⇒AE=DE

Do ΔEAC cân ⇒ AE =EC

⇒DE=EC

⇒BE là đường trung tuyến của ΔBDC(3)

Trong ΔBCD, có: DF và CA là đường trung tuyến(4)

Từ (3) và (4), suy ra: BE, CA và DF là 3 đường trung tuyến

Vậy BE, CA và DF đồng quy tại một điểm.