a, Xét tam giác AMH và tam giác NMB, có :
          AM = MN(gt)
          góc AMH = góc NMB (đối đỉnh)
          BM = MH(gt)
=>  tam giác AMH= tam giác NMB (c.g.c)
=> góc NBM = góc AHM (2 góc tương ứng)
=> góc NBM = 90 độ
=>  NB vuông góc với BC

b, Xét tam giác ABC, có :
AH là đường cao 
=> AH < AB ( vì đường vuông góc là ngắn nhất)   (1)
mà theo câu a, ta có:
  tam giác AMH= tam giác NMB
=> AH = BN ( 2 cạnh tương ứng ) (2)
Từ (1) và (2)  => BN < AB (đpcm)

c) Vì tam giác AMH=tam giác NMB (cmt)

→^MAH=^MNB (2 góc tương ứng)

Xét tam giác ABNcó : BN<BA (cm câu b)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

^BAM < ^MNB

mà ^MAH = ^MHB →^BAM < ^MAH

d) Xét tam giác ANC có:

-CM là đường trung tuyến thứ nhất

-AK là đường trung tuyến thứ 2

Mà CM và AK cắt nhau tại H

=> H là trọng tâm

Mà AI là đường trung tuyến

=> A, H, I thẳng hàng