1. Do $\Delta ABC$ vuông tại A ⇒ $AB ⊥ AC ⇒ \widehat{MAN} = 90^o$

Đt $(O)$ có: $\widehat{MAN} = 90^o (Cmt) ⇒ \text{sđ cung MN = 180 ^o}$

⇒ $MN$ là đường kính đt $(O)$ (định nghĩa số đo cung)

Do $AH$ là đường cao $\Delta ABC$ (gt) ⇒ $AH ⊥ BC$ tại $H$

Đường tròn $(O)$ có: $\widehat{HMA} = 90^o$ (góc nt chắn nửa đt) ⇒ $HM ⊥ AB$
$\Delta ABH$ vuông tại $H$; đường cao $HM$

⇒ $AH^2 = AM.AB$ (Htl trong Δv)

Chứng minh tương tự $AH^2 = AN.AC$

Do đó: $AM . AB = AN.AC⇒ \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$

$\Delta AMN$ đồng dạng với $\Delta ACB$ (c.g.c)

do có: $ \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}(cmt); \widehat{BAC}: chung$

⇒ $\widehat{AMN} = \widehat{ACB}$ (1) (góc t/ứ)
⇒ Tứ giác $BMNC$ nội tiếp (dhnb)

2. a. $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $I$ là trung điểm của $BC$ (gt)

⇒ $AI = BI = CI = \dfrac{BC}{2}$ (đlí)

⇒ $\Delta ABI$ cân tại $I$

⇒ $\widehat{ABC} = \widehat{BAI}$ (2)

Mặt khác $\widehat{ABC} + \widehat{ACB} = 90^o$ (3) (Do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

(1); (2); (3) ⇒ $\widehat{AMN} + \widehat{BAI} = 90^o$

hay $\widehat{AMK}  + \widehat{MAK} = 90^o$ ⇒ $AI ⊥ MN$ tại $K$

b. Vì $A$ đối xứng với $P$ qua $I$ (gt)

⇒ $I$ là trung điểm của $AP$ (đ/n)

$\Delta APH$ có: $I$ là trung điểm của $AP$ (cmt)

                            $Q$ là trung điểm của $HP$ (gt)

⇒ $IQ$ là đường trung bình của $\Delta APH$ (đ/n)

⇒ $IQ // AH$ (T/c) mà $AH ⊥ BC$ ⇒ $IQ$ vuông góc với $BC$ (quan hệ từ ⊥ đến song song) tại trung điểm I của $BC$

⇒ $IQ$ là trung trực của $BC$ (đ/n)

đt $(O)$ có $OA = OH (= bk)$ ⇒ $O$ là trung điểm của $AH$

$\Delta APH$ có: $O$ là trung điểm của $AH$ (cmt)

                            $Q$ là trung điểm của $HP$ (gt)

⇒ $OQ$ là đường trung bình của $\Delta APH$ (đ/n)

⇒ $OQ // AI$ (T/c) mà $AI ⊥ MN (cmt)$ ⇒ $OQ$ vuông góc với $MN$ (quan hệ từ ⊥ đến song song) tại trung điểm O của $MN$

⇒ $OQ$ là trung trực của $MN$ (đ/n)

Mà tứ giác $BMNC$ nội tiếp ⇒ $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BMNC$