Đáp án:

 a) $M = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}},x \ne \pm2$

b) $M=\dfrac{1}{2}$ khi $\left| {x + 1} \right| = 1$

c) ${M^2} < M$

Giải thích các bước giải:

 a) ĐKXĐ: $x\ne \pm2$

Ta có:

$\begin{array}{l}
M = \left( {\dfrac{x}{{{x^2} - 4}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right):\dfrac{2}{{x - 2}}\\
 = \left( {\dfrac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right):\dfrac{2}{{x - 2}}\\
 = \dfrac{{x + \left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)}}{2}\\
 = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)}}{2}\\
 = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}
\end{array}$

Vậy $M = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}},x \ne \pm2$

b) Ta có:

$\left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 1 = 1\\
x + 1 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0(c)\\
x =  - 2(l)
\end{array} \right.$

Với $x=0$ thì $M = \dfrac{{0 + 1}}{{0 + 2}} = \dfrac{1}{2}$

Vậy $M=\dfrac{1}{2}$ khi $\left| {x + 1} \right| = 1$

c) Ta có:

$M = \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = 1 - \dfrac{1}{{x + 2}}$

+) Hiển nhiên: $M < 1\left( {do:\dfrac{1}{{x + 2}} > 0,\forall x > 2} \right)$

+) Lại có:

$\begin{array}{l}
x > 2 \Rightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} < \dfrac{1}{4} \Rightarrow M > \dfrac{3}{4}\\
 \Rightarrow \dfrac{3}{4} < M < 1\\
 \Rightarrow {M^2} < M
\end{array}$

Vậy ${M^2} < M$