Giải thích các bước giải:

a, Tứ giác AHMB nội tiếp đường tròn (O;R)

⇒ $\widehat{HAM} = \widehat{HBM}$ và $\widehat{HMA} = \widehat{HBA}$ (1)

H là điểm chính giữa cung AM

⇒ ΔAHM cân tại H ⇒ $\widehat{HMA} = \widehat{HAM}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{HBM} = \widehat{HBA}$

hay $\widehat{HBE} = \widehat{HBA}$ 

⇒ BH là phân giác của $\widehat{ABE}$

ΔAHB nội tiếp (O;R) ⇒ ΔAHB vuông tại H ⇒ AH ⊥ HB

⇒ BH là đường cao của ΔBAE

ΔBAE có BH vừa là đường cao vừa là phân giác

⇒ ΔBAE cân tại B (đpcm)

b, Dễ dàng chứng minh được ΔKHA ~ KAB (g.g)

⇒ $\frac{KH}{KA}$ = $\frac{KA}{KB}$ 

⇒ KH.KB = $KA^2$ (3)

HB ⊥ AE tại H và BA = BE

⇒ BH là trung trực của AE ⇒ KA = KE (4)

Từ (3) và (4) suy ra: KH.KB = $KE^2$ (đpcm)

c, A và N cùng ∈ (B;BA)

⇒ BA = BN ⇒ ΔABN cân ở B

mà BM ⊥ AN

⇒ BM là trung trực của AN ⇒ BE là trung trực của AN

⇒ EA = EN ⇒ ΔEAN cân ở E

⇒ $\widehat{EAN} = \widehat{ENA}$ 

Mà $\widehat{HAM} = \widehat{HBM}$ (chứng minh ở câu a)

hay $\widehat{EAN} = \widehat{EBI}$ 

⇒ $\widehat{EBI} = \widehat{ENA}$ hay $\widehat{EBI} = \widehat{ENI}$ 

⇒ Tứ giác BIEN là tứ giác nội tiếp (đpcm)

d, $\widehat{MKA} = 90^o$

⇔ $\widehat{MKA} = \widehat{BKA}$

⇔ M ≡ B