a)

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ và $\Delta AKC$ vuông tại $K$, ta có:

+   $AB=AC\left( gt \right)$

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

$\to \Delta AHB=\Delta AKC\left( cgv-gn \right)$

$\to AH=AK$

$\to \Delta AKH$ cân tại $A$

b)

Xét $\Delta ABC$ cân tại $A$ có hai đường cao $BH,CK$ cắt nhau tại $I$

$\to I$ là trực tâm của $\Delta ABC$

$\to AI$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\to AI\bot BC$ tại $M$ và $AM$ cũng đồng thời là đường trung tuyến

$\to M$ là trung điểm $BC$

Xét $\Delta IBM$ vuông tại $M$ và $\Delta ICM$ vuông tại $M$, ta có:

+   $BM=CM\left( cmt \right)$

+   $IM$ là cạnh chung

$\to \Delta IBM=\Delta ICM\left( cgv-cgv \right)$

$\to \widehat{BIM}=\widehat{CIM}$

$\to IM$ là tia phân giác của $\widehat{BIC}$

c)

Ta có $\Delta AKH$ cân tại $A\to \widehat{AKH}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

Ta có $\Delta ABC$ cân tại $A\to \widehat{ABC}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{BAC}}{2}$

$\to \widehat{AKH}=\widehat{ABC}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị

Vậy $HK//BC$