Đáp án:

$y = (C_1+C_2x)e^{-x} + x^2 + x + 3$

Giải thích các bước giải:

$\quad y'' + 2y' + y = x^2 + 5x + 7\qquad (*)$

Xét phương trình đặc trưng:

$k^2 + 2k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1$

$\Rightarrow$ Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là:

$\quad y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

Ta có:

$\quad x^2 + 5x + 7 = e^{0x}(x^2 + 5x + 7)$

Do $0$ không là nghiệm của phương trình đặc trưng

nên nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$\quad y = e^{0x}(Ax^2 + Bx + C)$

$\Leftrightarrow y = Ax^2 + Bx + C$

$\Rightarrow y' = 2Ax + B$

$\Rightarrow y'' = 2A$

Thay vào $(*)$ ta được:

$\quad 2A + 2(2Ax + B) + Ax^2 + Bx + C = x^2 + 5x + 7$

$\Leftrightarrow Ax^2 + (4A + B)x + 2A + 2B + C = x^2 + 5x + 7$

Đồng nhất hệ số, ta được:

$\quad \begin{cases}A = 1\\4A + B = 5\\2A + 2B + C = 7\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 1\\C = 3\end{cases}$

Do đó nghiệm riêng của $(*)$ là: $y = x^2 + x + 3$

Vậy phương trình vi phân đã cho có nghiệm là:

$y = (C_1+C_2x)e^{-x} + x^2 + x + 3$