$\text{a) Xét ΔAHB, có:}$

          $\text{M là trung điểm của BH (gt)}$

          $\text{N là trung điểm của AH (gt)}$

$\text{⇒ MN là đường trung bình trong ΔAHB }$

$\text{⇒ $\begin{cases} MN//AB\\ MN = \dfrac{1}{2}AB (1) \end{cases}$ (T/c đường trung bình trong Δ)}$

$\text{Có: K là trung điểm của CD (gt) nên:}$

$\text{⇒ DK = KC = $\dfrac{1}{2}$CD (2)}$

$\text{Có: ABCD là hình chữ nhật (gt) nên:}$

$\text{⇒ $\begin{cases} AB = CD (3)\\ AB//CD\\ \widehat{ADC} = 90^o \end{cases}$ (T/c hình chữ nhật)}$

$\text{Từ (1)(2)(3) ⇒ DK = KC = MN}$

$\text{Có: $\begin{cases} AB//CD\\ MN//AB \end{cases}$ (cmt)}$

$\text{⇒ MN//CD (Quan hệ từ song song đến song song) hay MN//DK}$

$\text{Xét tứ giác MNDK, có:}$

          $\text{MN//DK; MN = DK (cmt)}$

$\text{⇒ Tứ giá MNDK là hình bình hành (dhnb)}$

$\text{b) Có: AD⊥DC tại D ($\widehat{ADC}$ = $90^o$)}$

            $\text{DC//MN (cma)}$

$\text{⇒ MN⊥AD (Quan hệ từ vuông góc đến song song)}$

$\text{⇒ MN là đường cao trong ΔAMD}$

$\text{Có: H là hình chiếu của A trên BD}$

$\text{⇒ AH⊥BD tại H hay AH⊥DM tại H}$

$\text{⇒ AH là đường cao trong ΔAMD}$

$\text{Xét ΔAMD, có:}$

          $\text{AH, MN là đường cao trong ΔAMD cắt nhau tại N}$

$\text{⇒ N là trực tâm trong ΔAMD}$

$\text{⇒ DN là đường cao trong ΔAMD}$

$\text{⇒ DN⊥AM}$

$\text{c) Có: DN⊥AM (cmb)}$

     $\text{DN//MK (MNDK là hình bình hành)}$

$\text{⇒ AM⊥MK tại M (Quan hệ từ vuông góc đến song song)}$

$\text{⇒ $\widehat{AMK}$ = $90^o$}$

$\textit{Ha1zzz}$