Đáp án:

 `4/5` hoặc `5/4`

Giải thích các bước giải:

Giả sử $∆ABC$ vuông tại $A$ có:

+) Đường cao $AH=h$

+) Cạnh huyền $BC=a$

+) Hai cạnh góc vuông: $AB=c;AC=b$

+) Trung tuyến `AM=1/ 2 BC=a/2`

`\qquad (a;b;c;h>0; b<a; c<a)`

Vì tỉ số của đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ là `{40}/{41}` nên:

$\quad \dfrac{h}{\dfrac{a}{2}}$`={40}/{41}`

`=>h={20}/{41}a`

Ta có: 

$\begin{cases}ah=bc\ (hệ\ thức\ lượng)\\b^2+c^2=a^2\ (định\ lý\ Pytago)\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}\dfrac{20}{41}a^2=bc\\a^2=b^2+c^2\end{cases}$

`=>(b^2+c^2).{20}/{41}=bc`

`<=>20b^2+20c^2=41bc`

`<=>20. (b/c)^2+20=41 . b/c` (chia hai vế cho `c^2)`

`<=>20. (b/c)^2-41. b/c+20=0` (*) `(b/c>0 \ do\  b,c>0)`

`∆=(-41)^2-4.20.20=81>0`

`=>\sqrt{∆}=9`

Vì `∆>0=>` Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt:

`x_1={-b+\sqrt{∆}}/{2a}={41+9}/{2.20}=5/4\ (thỏa\ mãn)`

`x_2={-b-\sqrt{∆}}/{2a}={41-9}/{2.20}=4/ 5\ (thỏa\ mãn)`

Vậy tỉ số độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho là `4/5` hoặc `5/4`