$\text{e) Có: P = $\dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ Đkxđ: x ≥ 0; x $\neq$ 1}$

$\text{= 2 - $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ }$

$\text{Với x ≥ 0; x $\neq$ 1; x ∈ Z; P có giá trị nguyên}$

$\text{⇔ 2 - $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ∈ Z }$

$\text{⇔ -$\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ∈ Z (2 ∈ Z là điều luôn đúng) }$

$\text{⇔ $\sqrt{x}$ + 1 ∈ $Ư_{(-3)}$ = {±1; ±3}}$

$\text{Mà $\sqrt{x}$ + 1 ≥ 1 với ∀ x ∈ Đkxđ}$

$\text{⇒ $\sqrt{x}$ + 1 ∈ {1; 3}}$

$\text{+) $\sqrt{x}$ + 1 = 1 ⇔ $\sqrt{x}$ = 0 ⇔ x = 0 (t/m)}$

$\text{+) $\sqrt{x}$ + 1 = 3 ⇔ $\sqrt{x}$ = 2 ⇔ x = 4 (t/m)}$ 

$\text{Vậy x ∈ {0; 4} thì P ∈ Z}$

$\text{f) Có: P < 1 - $\sqrt{x}$ Đkxđ: x ≥ 0; x $\neq$ 1}$

$\text{⇒ $\dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ < 1 - $\sqrt{x}$ }$

$\text{⇔ $\dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ + $\sqrt{x}$ - 1 < 0 }$

$\text{⇔ $\dfrac{(2\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1}$ < 0 }$

$\text{⇔ $\dfrac{2\sqrt{x} - 1 + x - 1}{\sqrt{x} + 1}$ < 0 }$

$\text{⇔ $\dfrac{x + 2\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$ < 0 }$

$\text{Mà $\sqrt{x}$ + 1 > 0 với ∀ x ∈ Đkxđ}$

$\text{⇒ x + 2$\sqrt{x}$ - 2 < 0}$

$\text{⇔ x + 2$\sqrt{x}$ + 1 - 3 < 0}$

$\text{⇔ ($\sqrt{x}$ + 1)² - ($\sqrt{3}$)² < 0}$

$\text{⇔ ($\sqrt{x}$ + 1 - $\sqrt{3}$)($\sqrt{x}$ + 1 + $\sqrt{3}$) < 0}$

$\text{Mà $\sqrt{x}$ + 1 + $\sqrt{3}$ > 0 với ∀ x ∈ Đkxđ}$

$\text{⇒ $\sqrt{x}$ + 1 - $\sqrt{3}$ < 0}$

$\text{⇔ $\sqrt{x}$ < $\sqrt{3}$ - 1}$

$\text{⇔ x < ($\sqrt{3}$ - 1)²}$

$\text{⇔ x < 4 - 2$\sqrt{3}$}$

$\text{Kết hợp với đkxđ, 0 ≤ x < 4 - 2$\sqrt{3}$ thì P < 1 - $\sqrt{x}$ }$

$\text{g) Có: P = $\dfrac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$ Đkxđ: x ≥ 0; x $\neq$ 1}$

$\text{= 2 - $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$  }$

$\text{Có: $\sqrt{x}$ ≥ 0 với ∀ x ∈ Đkxđ}$

$\text{⇔ $\sqrt{x}$ + 1 ≥ 1}$

$\text{⇔ $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ≤ 3}$

$\text{⇔ -$\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ≥ -3}$

$\text{⇔ 2 - $\dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$ ≥ -1}$

$\text{⇒ P ≥ -1}$

$\text{Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 0 (t/m)}$

$\text{Vậy $P_{min}$ = -1 khi x = 0}$

$\textit{Ha1zzz}$