a)

Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BAD$, ta có:

+   $AB$ là cạnh chung

+   $\widehat{BAE}=\widehat{BAD}=90{}^\circ $

+   $AE=AD\left( gt \right)$

$\to \Delta BAE=\Delta BAD\left( c.g.c \right)$

$\to BE=BD$

b)

Vì $BE=BD$

$\to \Delta BED$ cân tại $B$

$\to \widehat{BEC}=\widehat{BDE}\,\,\,\left( 1 \right)$

Có $D$ thuộc đường trung trực của $BC$

$\to DB=DC$

$\to \Delta DBC$ cân tại $D$

$\to \widehat{DBC}=\widehat{BCE}$

Có $\widehat{BDE}$ là góc ngoài của $\Delta DBC$

$\to \widehat{BDE}=\widehat{DBC}+\widehat{BCE}=2\widehat{BCE}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to \widehat{BEC}=2\widehat{BCE}$

c)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AI$ là trung tuyến

$\to IA=IB=IC$

$\to \Delta IAC$ cân tại $A$

$\to \widehat{IAC}=\widehat{BCE}$

Mà $\widehat{IAC}=\widehat{EAF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \widehat{BCE}=\widehat{EAF}$

$\to 2\widehat{BCE}=2\widehat{EAF}$

$\to \widehat{BEC}=2\widehat{EAF}$

Mà $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của $\Delta AEF$

$\to \Delta AEF$ cân tại $E$

d)

Ta có $BE=BD=CD$

Và $EF=EA=DA$

$\to BE+EF=CD+DA$

$\to BF=AC$

$\to \dfrac{BF}{AC}=1$