Đáp án:

a) $HB.AC^2=HC.AB^2$

b) $AI.AB=AK.AC$

c) $HB.HC=IA.IB+KA.KC$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A, đường cao AH

$\to AB^2=BH.BC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to BC=\dfrac{AB^2}{BH}$

$\to AC^2=CH.BC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to BC=\dfrac{AC^2}{CH}$

$\to\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{AC^2}{CH}\\\to HB.AC^2=HC.AB^2$

b)

$\triangle HAB$ vuông tại H, đường cao HI

$\to HA^2=AI.AB$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\triangle HAC$ vuông tại H, đường cao HK

$\to HA^2=AK.AC$

$\to AI.AB=AK.AC=AH^2$

c)

$\triangle HAB$ vuông tại H, đường cao HI

$\to IH^2=IA.IB$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\triangle HAC$ vuông tại H, đường cao HK

$\to KH^2=KA.KC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to IA.IB+KA.KC=IH^2+KH^2=IK^2$

Xét tứ giác AIHK:

$\widehat{IAK}=90^o$ (gt)

$\widehat{AIH}=90^o$ (gt)

$\widehat{AKH}=90^o$ (gt)

$\to$ Tứ giác AIHK là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

$\to IK=HA$

$\to HA^2=IA.IB+KA.KC$

Mà $HA^2=HB.HC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\to HB.HC=IA.IB+KA.KC$