Đáp án:

`a,`

`text{Xét ΔABH và ΔMBH có :}`

`hat{BAH} = hat{BMH} = 90^o`

`text{BH chung}`

`hat{ABH} = hat{MBH}` `text{(giả thiết)}`

`->` `text{ΔABH = ΔMBH (cạnh huyền - góc nhọn)}`

$\\$

$\\$
$b,$

`text{Vì ΔABH = ΔMBH (chứng minh trên)}`

`->` `text{ΔAB = BM (2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{B nằm trên đường trung trực của AM (1)}`

$\\$

`text{Vì ΔABH = ΔMBH (chứng minh trên)}`

`->` `text{AH = MH (2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{H nằm trên đường trung trực của AM (2)}`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{BH là đường trung trực của AM}`

$\\$

$\\$
$c,$

`text{Ta có : AB = MB (chứng minh trên)}`

`->` `text{ΔABM cân tại B}`

`-> hat{BAM} = hat{BMA} = (180^o - hat{B})/2 (3)`

$\\$
`text{Xét ΔAHN và ΔMHC có :}`

`hat{AHN} = hat{MHC}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`hat{NAH} = hat{CMH} = 90^o`

`text{AH = MH (chứng minh trên)}`

`->` `text{ΔAHN = ΔMHC (góc - cạnh  -góc)}`

`->` `text{AN = MC (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Ta có : AB + AN = BN}`

`text{Ta có : MB + MC = BC}`

`text{mà AB = MB, AN = MC}`

`-> BN = BC`

`->` `text{ΔNBC cân tại B}`

`-> hat{BNC} = hat{BCN} = (180^o - hat{B})/2 (4)`

$\\$

`text{Từ (3) và (4)}`

`-> hat{BAM} = hat{BNC} (= (180^o - hat{B})/2)`

`text{mà 2 góc này ở vị trí đồng vị}`

`->` `text{AM//NC}`

$\\$

$\\$

$d,$

`text{Xét ΔNBC có :}`

`text{CA là đường cao (CA⊥BN)}`

`text{NM là đường cao (NM⊥BC)}`

`text{CA cắt NM tại H}`

`->` `text{H là trực tâm của ΔNBC}`

`->` `text{BH là đường cao}`

`-> BH⊥NC`

a) Xét `ΔABH` và `ΔMBH` có:

`∠B_1 = ∠B_2` (`BH` là tia phân giác của `∠ABC`)

`BH` là cạnh chung

`∠BAH = ∠BMH` (`=90^o`)

`⇒ ΔABH = ΔMBH` (ch - gn) `(*)`

b) Từ `(*) ⇒ BA = BM` và ` HA = HM` (cạnh tương ứng)

`⇒ B` và `M` là hai điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng `AM`

`⇒ BM` là đường trung trực của đoạn thẳng `AM`

c) Xét `ΔNBM` và `ΔCBA` có:

`∠ABM` là góc chung

`∠BMN = ∠BAC` (`=90^o`)

`BM = BA` (cmt)

`⇒ ΔNBM = ΔCBA` (g. c. g)

`⇒ BN = BC` (cạnh tương ứng)

`⇒ ΔNBC` cân tại `B`

`⇒ ∠BCN = (180^o - ∠ABM) /2           (1)`
Vì `BA = BM` (cmt) `⇒ ΔABM` cân tại `B  ⇒ ∠BMA = (180^o - ∠ABM) /2        (2)`

Từ `(1)` và `(2)  ⇒ ∠BCN = ∠BMA` mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị 

`⇒ AM` song song với `CN`

Vì `CA` là đường cao của `ΔNBC` (`CA ⊥ BN` tại `C`)

`NM` là đường cao của `ΔNBC` (`NM ⊥ BC` tại `M`)

`CA ∩ NM = {H}`

`⇒ H` là trực tâm `ΔBNC`

`⇒ BH ⊥ CN`