Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to BC^2=AB^2+AC^2=100\to BC=10$

Vì $BM$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{MA}{MC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac35$

$\to \dfrac{MA}{MA+MC}=\dfrac3{3+5}$

$\to \dfrac{MA}{AC}=\dfrac38$

$\to AM=\dfrac38AC=3$

b.Xét $\Delta ABM,\Delta ECM$ có:

$\widehat{BAM}=\widehat{CEM}(=90^o)$

$\widehat{AMB}=\widehat{CME}$(đối đỉnh)

$\to \Delta ABM\sim\Delta ECM(g.g)$

c.Từ câu b $\to \widehat{ECM}=\widehat{ABM}$

Vì $BM$ là phân giác $\hat B\to \widehat{ABM}=\widehat{MBC}=\widehat{EBC}$

$\to \widehat{ECM}=\widehat{EBC}$

Mà $\widehat{MEC}=\widehat{BEC}$

$\to \Delta EMC\sim\Delta ECB(g.g)$

$\to \dfrac{EM}{EC}=\dfrac{EC}{EB}$

$\to EC^2=EB\cdot EM$

d.Xét $\Delta IBE,\Delta IAC$ có:

Chung $\hat I$

$\widehat{IEB}=\widehat{IAC}(=90^o)$

$\to \Delta IBE\sim\Delta ICA(g.g)$

$\to \dfrac{IB}{IE}=\dfrac{IC}{IA}$

$\to IE\cdot IC=IA\cdot IB$

$\to CE\cdot CI=CM\cdot CA$ 

Ta có: $BM$ là phân giác $\hat B, BM\perp CI\to \Delta BCI$ cân tại $B$

$\to BE$ là phân giác đồng thời là trung tuyến $\Delta IBC\to E$ là trung điểm $CI\to EC=EI$

$\to CE\cdot CI=EI\cdot CI$

$\to CE\cdot CI=IA\cdot IB$

$\to CE\cdot CI+BA\cdot BI=IA\cdot IB+BA\cdot BI=BI(IA+BA)=BI^2$