Áp dụng hệ quả định lý cosin trong `ΔABC` có: $\begin{cases} \cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{cases}$

$⇒\begin{cases}(b+c).\cos A=\dfrac{(b+c)(b^2+c^2-a^2)}{2bc}\\(a+c)\cos B=\dfrac{(a+c)(c^2+a^2-b^2)}{2ca}\\(a+b)cos C=\dfrac{(a+b)(a^2+b^2-c^2)}{2ab} \end{cases}$

`⇒VT=(b+c).cos A+(a+c).cosB+(a+b)cosC`

`=((b+c)(b^2+c^2-a^2))/(2bc)+((a+c)(c^2+a^2-b^2))/(2ca)+((a+b)(a^2+b^2-c^2))/(2ab)`

`=(a(b+c)(b^2+c^2-a^2))/(2abc)+(b(a+c)(c^2+a^2-b^2))/(2abc)+(c(a+b)(a^2+b^2-c^2))/(2abc)`

`=(a(b+c)(b^2+c^2-a^2)+b(a+c)(c^2+a^2-b^2)+c(a+b)(a^2+b^2-c^2))/(2abc)`

`=(a(b^3+bc^2-a^2b+b^2c+c^3-a^2c)+b(ac^2+a^3-ab^2+c^3+a^2c-b^2c)+c(a^3+ab^2-ac^2+a^2b+b^3-bc^2))/(2abc)`

`=(ab^3+abc^2-a^3b+ab^2c+ac^3-a^3c+abc^2+a^3b-ab^3+bc^3+a^2bc-b^3c+a^3c+ab^2c-ac^3+a^2bc+b^3c-bc^3)/(2abc)`

`=(ab^3-ab^3+ac^3-ac^3-a^3b+a^3b-a^3c+a^3c+bc^3-bc^3-b^3c+b^3c+abc^2+abc^2+ab^2c+ab^2c+a^2bc+a^2bc)/(2abc)`

`=(2abc^2+2ab^2c+2a^2bc)/(2abc)`

`=(2abc(c+b+a))/(2abc)`

`=a+b+c=VP`

`⇒VT=VP(đpcm)`