Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ cân 

$\Rightarrow AB=AC, \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}$

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC:$

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^\circ$

$\widehat{A}:$ chung

$AB=AC$

$\Rightarrow \Delta ADB và \Delta AEC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AD=AE\\ \Rightarrow \widehat{E_1}=\dfrac{180^\circ-\widehat{A}}{2}\\ \Rightarrow \widehat{E_1}= \widehat{ABC}$

$\Rightarrow DE//BC$ (hai góc so le trong bằng nhau)

$\Rightarrow BCDE$ là hình thang

Mà $\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$

$\Rightarrow BCDE$ là hình thang cân

$b)  BCDE$ là hình thang cân

$\Rightarrow BE=CD, BD=CE$

$c)$ Xét $\Delta BEC$ và $\Delta CDB:$

$BE=CD\\ \widehat{BEC}=\widehat{CDB}=90^\circ\\ EC=DB\\ \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB (c.g.c)\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \Delta BIC$ cân tại $I$

$d)\Delta BIC$ cân tại $I$

$ \Rightarrow IB=IC$

Mà $BD=CE$

$ \Rightarrow BD-IB=CE-IC\\ \Leftrightarrow ID=IE$

$\Leftrightarrow \Delta IDE$ cân tại $I.$