Giải thích các bước giải:

$a)$Tứ giác $ACMO$ có $A,M$ cùng nhìn $OC$ dưới một góc $90^o$

$\Rightarrow ACMO$ nội tiếp được.

$b)$ Xét $\Delta DBO$ là $\Delta DMO$

$DO:$ chung

$BO=MO=R\\ \widehat{DBO}=\widehat{DMO}=90^o\\ \Rightarrow \Delta DBO = \Delta DMO\\ \Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$

Tương tự $\Delta CMO = \Delta CAO$

$\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}\\ \widehat{O_1}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}+\widehat{O_4}=180^o\\ \Leftrightarrow 2(\widehat{O_2}+\widehat{O_3})=180^o\\ \Leftrightarrow\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=90^o\\ \Leftrightarrow\widehat{COD}=90^o\\ c)\Delta DBO = \Delta DMO\\\Rightarrow DB=DM\\ \Delta CMO = \Delta CAO\\\Rightarrow CM=AC$

$AC.BD=CM.DM=OM^2=R($Hệ thức lượng trong $\Delta COD)$

$d)$Kéo dài $AM$ cắt $Bx$ tại $G$

$\Delta DBO = \Delta DMO$

$\Rightarrow DB=DM; OB=OM$

$\Rightarrow DO$ là trung trực $BM$

$\Rightarrow DO \perp BM$

Mà $BM \perp AM$

$\Rightarrow DO//AM\\ \Leftrightarrow DO//AG\\ \Delta ABG, DO//AG\\ \Rightarrow \dfrac{BD}{BG}=\dfrac{BO}{BA}=2\\ \Rightarrow BD=DG(1)\\ MN \perp AB, BG \perp AB\\ \Rightarrow MN//BG\\ \Delta ABG, IN//DB \Rightarrow \dfrac{IN}{DB}=\dfrac{AI}{AD}(2)$

Tương tự $\dfrac{IM}{DG}=\dfrac{AI}{AD}(3)$

$(1)(2)(3)\Rightarrow  IM=IN$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $MN.$