a) Xét ΔABC vuông tại A, ta có:

$BC^{2}$ = $AB ^{2}$ + $AC^{2}$ (địnhu lý Pytago)

$BC^{2}$ = $5^{2}$ + $12^{2}$ 

$BC^{2}$ = 25 + 144

$BC^{2}$ = 169

BC = $\sqrt{169}$

⇒BC = 13 cm

Vậy BC = 13cm

b) Xét Δvuông ABM và Δvuông KBM, ta có:

ch: BM là cạnh chung

gn: ∠ABM = ∠KBM (BM là phân giác của ΔABC)

⇒Δvuông ABM = Δvuông KBM (ch-gn)

⇒MA = MK (2 cạnh tương ứng)

Xét Δvuông MKC, ta có:

MC > MK (cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác vuông)

Mà MA = MK (chứng minh trên)

⇒MA < MC

c) AB = KB (Δvuông ABM = ΔKBM)

⇒ΔABK cân tại B

Vẽ O cắt AK và BM

Xét ΔABO và ΔKBO, ta có: 

c: AB = KB (chứng minh trên)

g: ∠ABO = ∠KBO (BM là phân giác của ΔABC)

c: BO là cạnh chung

⇒ΔABO = ΔKBO (c-g-c)

⇒∠BOA = ∠BOK (2 góc tương ứng)

Mà ∠BOA + ∠BOK = $180^{0}$ (2 góc kề bù)

⇒∠BOA = ∠BOK = $180^{0}$ : 2

⇒∠BOA = ∠BOK = $90^{0}$

⇒BO ⊥ AK
⇒BM ⊥ AK

d) Xét ΔAMH và ΔKMC, ta có:

g: ∠MAH = ∠MKC ( = $90^{0}$ )

c: AM = KM (chứng minh trên)

g: ∠AMH = ∠KMC (2 góc đối đỉnh)

⇒ΔAMH = ΔKMC (g-c-g)

⇒HM = MC (2 cạnh tương ứng)

Mà AM = KM (chứng minh trên)

⇒HM + KM = MC + AM
⇒HK = AC

Lại có:

HM = MC (chứng minh trên)

⇒ΔMHC cân tại M

e) BM là phân giác của ΔABC

⇒BM cũng là phân giác của ΔBHC

HI = CI (I là trung điểm của HC)

⇒BI là đường trung tuyến của ΔBHC

Mà I ∈ BM

⇒B, M, I thẳng hàng

Chúc bạn học tốt

Đáp án:

`a,`

`text{Xét ΔABC vuông tại A có :}`

`AB^2 + AC^2 = BC^2` `text{(Định lí Pitago)}`

`-> BC^2 = 5^2 + 12^2`

`-> BC^2=  13^2`

`-> BC = 13cm`

$\\$
$\\$

$b,$

`text{Xét ΔABM và ΔKBM có :}`

`hat{BAM} = hat{BKM} = 90^o`

`text{BM chung}`

`hat{ABM} = hat{KBM}` `text{(giả thiết)}`

`->` `text{ΔABM = ΔKBM (cạnh huyền - góc nhọn)}`

`->` `text{MA = MK (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Xét ΔMKC vuông tại K có :}`

`text{MC là cạnh lớn nhất}`

`-> MC > MK`

`text{mà MA = MK (chứng minh trên)}`

`-> MA < MC`

$\\$

$\\$
$c,$

`text{Vì ΔABM = ΔKBM (chứng minh trên)}`

`->` `text{AB = KB (2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{ΔABK cân tại B}`

$\\$

`text{Đồng thời B nằm trên đường trung trực của AK (1)}`

`text{Ta có : MA = MK (chứng minh trên)}`

`->` `text{M nằm trên đường trung trực của AK (2)}`

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{BM là đường trung trực của AK}`

`-> BM⊥AK`

$\\$
$\\$

`d,`

`text{Xét ΔABC và ΔKBH có :}`

`hat{B}` `text{(chung)}`

`text{AB = KB (chứng minh trên)}`

`hat{BAC} = hat{BKH} = 90^o`

`->` `text{ΔABC = ΔKBH (góc - cạnh - góc)}`

`->` `text{AC = HK (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Xét ΔAMH và ΔKMC có :}`

`text{MA = MK (chứng minh trên)}`

`hat{AMH} = hat{KMC}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`hat{HAM} = hat{CKM} = 90^o`

`->` `text{ΔAMH = ΔKMC (góc - cạnh - góc)}`

`->` `text{MH = MC (2 cạnh tương ứng)}`

`->` `text{ΔMHC cân tại M}`

$\\$

$\\$

$e,$

`text{Xét ΔBHC có :}`

`text{HK là đường cao (HK⊥BC)}`

`text{CA là đường cao (CA⊥BH)}`

`text{HK cắt CA tại M}`

`->` `text{M là trực tâm của ΔBHC}`

`->` `text{BI là đường cao}`

`-> BI⊥HC (1)`

$\\$
`text{Vì ΔMHC cân tại M}`

`text{MI là đường trung tuyến}`

`->` `text{MI là đường cao}`

`-> MI⊥HC (2)`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{B,M,I thẳng hàng}`