a, AD ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{ADC}=90°$ Hay $\widehat{HDC}=90°$

BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEC}=90°$

Xét tứ giác CDHE có: $\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH

b, Xét (O) có: $\widehat{AFB}=\widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{AB}$)

Hay $\widehat{AFH}=\widehat{ACD}$

Xét ΔADC vuông tại D ($\widehat{ADC}=90°$) có:

$\widehat{ACD}+\widehat{CAD}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{ACD}+\widehat{EAH}=90°$

BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=90°$ Hay $\widehat{HEA}=90°$

Xét ΔAEH vuông tại E ($\widehat{AEH}=90°$) có:

$\widehat{AHE}+\widehat{EAH}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{AHF}+\widehat{EAH}=90°$

Mà $\widehat{ACD}+\widehat{EAH}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{AHF}=\widehat{ACD}$

Mà $\widehat{AFH}=\widehat{ACD}$ (cmt)

⇒ $\widehat{AFH}=\widehat{AHF}$

c, Gọi I là trung điểm của HC

Tứ giác CEHD nội tiếp đường tròn đường kính HC (cmt)

⇒ Tứ giác CEHD nội tiếp (I)

⇒ ΔCED nội tiếp (I)

Xét ΔAHF có: $\widehat{AFH}=\widehat{AHF}$ (cmt)

⇒ ΔAHF cân tại A

Mà AC ⊥ HF (gt)

⇒ AC là trung trực của HF

⇒ CH = CF

Xét ΔCHF có: CH = CF (cmt)

⇒ ΔCHF cân tại C

⇒ $\widehat{FHC}=\widehat{HFC}$ Hay $\widehat{EHC}=\widehat{BFC}$

Xét (O) có: $\widehat{BAC}=\widehat{BFC}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{BC}$)

⇒ $\widehat{EHC}=\widehat{BAC}$

Hay $\widehat{EHC}=\widehat{BAE}$

Xét ΔBAE vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$) có:

$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà $\widehat{EHC}=\widehat{BAE}$ (cmt)

⇒ $\widehat{EHC}+\widehat{ABE}=90°$

Hay $\widehat{EHI}+\widehat{ABE}=90°$

Tứ giác CEHD nội tiếp (I) (cmt) ⇒ IE = IH 

Xét ΔIEH có: IE = IH (cmt)

⇒ ΔIEH cân tại I

⇒ $\widehat{EHI}=\widehat{HEI}$

Mà $\widehat{EHI}+\widehat{ABE}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{HEI}+\widehat{ABE}=90°$

Hay $\widehat{HEI}+\widehat{MBE}=90°$

Xét ΔAEB vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$) có:

EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB (M là trung điểm của AB)

⇒ EM = MB = $\frac{1}{2}$ AB

Xét ΔEMB có: EM = MB (cmt)

⇒ ΔEMB cân tại M

⇒ $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$

⇒ $\widehat{MEB}=\widehat{MBE}$ Hay $\widehat{MEH}=\widehat{MBE}$

Mà $\widehat{HEI}+\widehat{MBE}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{HEI}+\widehat{MEH}=90°$

⇒ $\widehat{MEI}=90°$

⇒ IE ⊥ ME

Xét (I) có:

E ∈ (I) (ΔCDE nội tiếp (I))

IE ⊥ ME (cmt)

⇒ ME là tiếp tuyến, E là tiếp điểm của (I) ngoại tiếp ΔCDE