Đáp án:

$D.\ \dfrac{12\sqrt5}{5}$

Giải thích các bước giải:

Từ $A$ kẻ $AH\perp BD$

$\Rightarrow BD\perp (SAH)$

$\Rightarrow BD\perp SH$

Ta được:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD)= BD\\AH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABCD)\\SH\perp BD\quad (cmt)\\SH\subset (SBD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))}=\widehat{SHA}= 60^\circ$

$\Rightarrow SA= AH.\tan60^\circ$

Đặt $AD = x$

$\Rightarrow AB = 2x$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2} +\dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AH =\dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2x\sqrt5}{5}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{2x\sqrt{15}}{5}$

Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\\BC\perp AB\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Từ $A$ kẻ $AM\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AM$

$\Rightarrow AM\perp (SBC)$

$\Rightarrow AM = d(A;(SBC))= \dfrac{3\sqrt2}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AM$ ta được:

$\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AM =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}$

$\Rightarrow AM = \dfrac{x\sqrt6}{2}$

$\Rightarrow x = \sqrt3$

Ta được:

$\begin{cases}AD = \sqrt3\\AB = 2\sqrt3\\SA = \dfrac{6\sqrt5}{5}\end{cases}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac13AB.AD.SA =\dfrac{12\sqrt5}{5}$