Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\\
B{C^2} = {10^2} = 100\\
 \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}
\end{array}$

=> Tam giác ABC vuông tại A (theo Pytago đảo)

b)

Cx vuông góc AC nên Cx // AB

=> góc ABM = góc DCM (so le trong)

Xét ΔABM và ΔDCM có:

+ góc ABM = góc DCM

+ BM = CM

+ góc AMB = góc DMC (đối đỉnh)

=> ΔABM = ΔDCM (g-c-g)

=> AB = DC

c) Xét ΔABC vuông tại A và ΔCDA vuông tại C có:

AB = DC = 6(cm)

AC chung

=> ΔABC = ΔCDA(2 c-g-v)

=> góc ACM = góc CAM

Xét ΔAMC có

góc ACM = góc CAM

=> ΔAMC cân tại M

=> MN vuông góc với AC

d) Ta có: AM = 1/2BC=5(cm)

Lại có: NC = 1/2AC = 4(cm)

Xét ΔMNC vuông tại N có 

$\begin{array}{l}
M{N^2} + N{C^2} = M{C^2}\\
 \Leftrightarrow M{N^2} + 16 = 25\\
 \Leftrightarrow M{N^2} = 9\\
 \Leftrightarrow MN = 3\\
\Delta DNC \bot C\\
 \Leftrightarrow D{C^2} + N{C^2} = D{N^2}\\
 \Leftrightarrow D{N^2} = 52\\
 \Leftrightarrow DN = 2\sqrt {13} \\
 \Leftrightarrow AM + DN = 5 + 2\sqrt {13} \\
3MN = 9\\
 \Leftrightarrow AM + DN > 3MN
\end{array}$

mk gửi ak