Đáp án:

`a,`

`text{Xét ΔAHB và ΔAHC có :}`

`hat{AHB} = hat{AHC} = 90^o`

`text{AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`

`text{AH chung}`

`->` `text{ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)}`

$\\$

$\\$

$b,$

`text{Vì ΔAHB = ΔAHC (chứng minh trên)}`

`->` `text{HB = HC (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Xét ΔBMH và ΔCNH có :}`

`text{HB = HC (chứng minh trên)}`

`hat{MHB} = hat{NHC}` `text{(Vì cùng bù}` `hat{MHN}` `)`

`hat{B} = hat{C}` `text{(Vì ΔABC cân tại A)}`

`->` `text{ΔBMH = ΔCNH (góc - cạnh - góc)}`

`->` `text{MH = NH (2 cạnh tương ứng)}`

`text{và BM = CN (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

`text{Ta có : MH = NH (chứng minh trên)}`

`->` `text{H nằm trên đường trung trực của MN (1)}`

$\\$

`text{Ta có : AM = AB - BM}`

`text{Ta có : AN = AC - CN}`

`text{mà AB = AC, BM = CN}`

`-> AM = AN`

`->` `text{A nằm trên đường trung trực của MN (2)}`

$\\$
`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{MN là đường trung trực của AH}`

Lời giải:

a) Xét $ΔAHB$ và $ΔAHC$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^0$ ($AH$ là đường cao của $ΔABC$)

$AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$AH$ cạnh chung

$⇒ΔAHB = ΔAHC (ch - cgv)$

b) Có $ΔAHB = ΔAHC$ (từ a)

$⇒HB=HC$ (hai cạnh tương ứng) (1)

 Xét $ΔMHB$ và $ΔNHC$ có:

$\widehat{MHB}=\widehat{NHC}$ (cùng bù $\widehat{MHN}$)

$HB=HC$ [từ (1)]

$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$⇒ΔMHB=ΔNHC(g-c-g)$

$⇒MH=NH$ (hai cạnh tương ứng)

$⇒H$ nằm trên đường trung trực $MN(*)$

Có: $AM=AB-BM$ và $AN=AC-CN$,

mà $AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$) và $BM=CN$ ($ΔMHB=ΔNHC$)

$⇒AM=AN$

$⇒A$ nằm trên đường trung trực $MN(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra: 

$MN$ là đường trung trực $AH$.