Đáp án:

$D.\ 63$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\quad\begin{cases}y_A = \log_9x_A\\y_B = \log_{12}x_B\\y_C = \log_{15}x_C\end{cases}$

Ta lại có:

$\quad y_A = y_B = y_C =y$

$\Leftrightarrow \log_9x_A = \log_{12}x_B = \log_{15}x_C=y$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_A = 9^y\\x_B = 12^y\\x_C = 15^y\end{cases}$

Mặt khác:

$\quad x_C = x_A + x_B$

$\Leftrightarrow 15^y = 9^y + 12^y$

$\Leftrightarrow 1 = \left(\dfrac35\right)^y + \left(\dfrac45\right)^y\qquad (*)$

Xét $f(y)= \left(\dfrac35\right)^y + \left(\dfrac45\right)^y$

$\Rightarrow f'(y)= \left(\dfrac35\right)^y.\ln\dfrac35+ \left(\dfrac45\right)^y.\ln\dfrac45 < 0$

$\Rightarrow f(y)$ nghịch biến

$\Rightarrow f(y)= 1$ có nghiệm duy nhất

Nhận thấy $y = 2$ là một nghiệm của $(*)$

Do đó $y = 2$ là nghiệm duy nhất của $(*)$

Ta được:

$\quad \begin{cases}y =2\\x_A = 9^2 = 81\\x_B = 12^2 = 144\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}A(81;2)\\B(144;2)\end{cases}$

$\Rightarrow AB = 63$