Đáp án:

 B15: $a \in \left\{ { - 1;0} \right\}$

B16: $m \in \left\{ { - 2;0} \right\}$

Giải thích các bước giải:

 B15:

Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=(a+1)x-a$ là:

$x^2=(a+1)x-a$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {a + 1} \right)x + a = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - ax} \right) - \left( {x - a} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = a
\end{array} \right.
\end{array}$

Để $(d) $ cắt $(P)$ tại hai điểm $A,B$ phân biệt khi và chỉ khi $a\ne 1$

Và có: 

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = 1\\
x = a \Rightarrow y = {a^2}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow A\left( {1;1} \right),B\left( {a;{a^2}} \right)
\end{array}$

Để $\Delta OAB;\widehat O = {90^0}$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\\
 \Leftrightarrow {1^2} + {1^2} + {a^2} + {\left( {{a^2}} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {{a^2} - 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {a^4} + {a^2} + 2 = {a^2} - 2a + 1 + {a^4} - 2{a^2} + 1\\
 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2a = 0\\
 \Leftrightarrow a\left( {a + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0(tm)\\
a =  - 1(tm)
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $a \in \left\{ { - 1;0} \right\}$ thỏa mãn đề

B16:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $(P):y=-x^2$ và đường thẳng $(d):y=-(m+1)x+m$ là:

$\begin{array}{l}
 - {x^2} =  - \left( {m + 1} \right)x + m\\
 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - mx} \right) - \left( {x - m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = m
\end{array} \right.
\end{array}$

Để đường $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi $m\ne 1$

Và có: 

$\begin{array}{l}
 - {x^2} =  - \left( {m + 1} \right)x + m\\
 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - mx} \right) - \left( {x - m} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = m
\end{array} \right.
\end{array}$

Nên ta có hai giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là: $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( {m; - {m^2}} \right)$

$\begin{array}{l}
 + )TH1:P\left( {1; - 1} \right);Q\left( {m; - {m^2}} \right)\\
\Delta OPQ;\widehat Q = {90^0}\\
 \Leftrightarrow Q{P^2} + Q{O^2} = O{P^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( { - {m^2} + 1} \right)^2} + {m^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2} = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^2} + 1 + {m^2} - 2m + 1 + {m^4} + {m^2} = 2\\
 \Leftrightarrow 2{m^4} - 2m = 0\\
 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m + 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( c \right)\\
m = 1\left( l \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m = 0
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 + )TH2:Q\left( {1; - 1} \right);P\left( {m; - {m^2}} \right)\\
\Delta OPQ;\widehat Q = {90^0}\\
 \Leftrightarrow Q{P^2} + Q{O^2} = O{P^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + {\left( { - {m^2} + 1} \right)^2} + {1^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = {m^2} + {\left( { - {m^2}} \right)^2}\\
 \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^2} + 1 + {m^2} - 2m + 1 + 2 = {m^4} + {m^2}\\
 \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\left( l \right)\\
m =  - 2\left( c \right)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m =  - 2
\end{array}$

Vậy $m \in \left\{ { - 2;0} \right\}$ thỏa mãn đề