Đáp án:

Giải thích các bước giải:
a) Ta có D,E lần lượt là trung điểm ABC 
⇒ DE là đường trung bình ΔABC
⇒ DE // AC và DE ⊥ AC
Xét tứ giác ADEC có : DE // AC , AB ⊥ AC , DE ⊥ AC
⇒ tứ giác ADEC vuông

b) Xét tứ giác FAEB có : D là trung điểm AB , D là trung điểm FE mà AB , FE là hai đường chéo
⇒ tứ giác FAEB là hình bình hành
⇒ AF = BE = EC 
⇒ AF // BE mà E là trung điểm BC ⇒ E ∈ BC
⇒ AF // EC

c) Xét tứ giác AFEC có : AF // EC , AF = EC 
⇒ tứ giác AFEC là h-b-h 
⇒ G là trung điểm CF,AE
Ta có G là trung điểm CF , D là trung điểm FE 
⇒ GD là đường trung bình ΔFEC
⇒ GD // EC 
Mà I ∈ DG ⇒ GI // EC 
Ta lại có G là trung điểm AE
⇒ I là trung điểm AC 

d) Ta có E là trung điểm BC , I là trung điểm AC
⇒ EI là đường trung bình ΔABC
⇒ EI // AB ⇒ EI ⊥ AC ( BA ⊥ AC ) 
Ta có EI là trung tuyến AC , EI là đường cao AC
⇒ EI là trung trực AC 
Kẻ FK ⊥ AC
⇒ FK // DA // EI
⇒ EFKI là hình thang 
mà D là trung điểm EF 
DA // FK //EI
⇒ A là trung điểm KI
⇒ AK = AI 
Ta có : AI = IC = $\frac{AC}{2}$ 
⇒ 2AK = 2AI = 2IC = AC
Mặt khác : KC - AC = KA ⇒KC - 2IC = IC ⇒ KA = 3IC 
Ta có : D là trung điểm EF , AD ⊥ EF 
⇒ AD là trung trực EF 
⇒ AE = AF
Xét ΔAKF và ΔAIE có : 
AF = AE 
AK = AI
⇒ ΔAKF = ΔAIE ( cạnh huyền - cạnh góc vuông ) 
⇒ FK = EI 
Áp dụng đ/lý Pitago vào ΔFKC vuông tại K 
FC² = FK² + KC²
FC² = EI² + 9IC²
FC² = EI² + IC² + 8IC² 
FC² = EC² + 2.(4IC²) ( EI² + IC² = EC² đ/lý Pitago vào ΔEIC vuông tại I ) 
FC² = EC² + 2AC² ( 2IC = AC )

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Vì D là trung điểm AB và

E là trung điểm BC nên

DE là đtb trong tgABC

=> DE//AC

=>ADEC là hình thang . mặt khác có góc A=90 độ

=> ADEC là htv

Vì D là trung điểm AB và là trung điểm của 

FE và có 2 góc FDA và góc EDB bằng nhau nên tgFDA = tgEDB => góc FAD = góc EBD (so le trong) => AF//BC

Xét 2 tgFAG và tgCEG có góc FGA = góc CGE vì đối đỉnh, FA=CE( do cùng bằng BE), góc AFG = góc ECG ( so le trong, FA//CE)   =>tg FAG = tg CEG => FG=CG và GA=GE => G là trung điểm của CF và AE

Ta có G là trung điểm AE và GI//EC

Nên I là trung điểm AC (1)

Ta có EI là đtb của tgABC nên EI//AB vag mặt khác AB vuông góc AC nên EI vuông 

AC (2) . Từ (1) và (2) suy ra EI là đường trung trực của AC