a. Ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O)$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o+90^o=180^o\to A,B,O,C$ cùng thuộcđường tròn đường kính (AO).

b. Vì AB,AC là tiếp tuyến của (O)

$\to AB=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

và có $OB=OC$ nên $AO$ là đường trung trực của $BC$
$\to AO\perp BC$

Gọi $AO\cap BC=E\to E$ là trung điểm BC
$\to BE=\dfrac 12 BC=12$

Do $AB\perp OB,BE\perp AO $

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta$ vuông $ABO$ đường cao $BE$ có:

$ \dfrac{1}{BE^2}=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{BA^2}\to AB=20$

$\to OA^2=AB^2+OB^2=625\to AO=25$

c. Ta có:
$BH\perp OC\to BH//AC\to\widehat{HBC}=\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\to BC$ là phân giác $\widehat{ABH}$

d. Gọi $BD\cap AC=F$

Ta có: $FB\perp BC, AB=AC\to A$ là trung điểm CF $\to AF=AC$
Mà $BH\perp CD\to BH//CF\to \dfrac{BI}{AF}=\dfrac{DI}{DA}=\dfrac{IH}{AC}\to IB=IH$.