Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta ABH,\Delta ACI$ có:

$\widehat{HAB}=90^o-\widehat{IAC}=\widehat{ACI}$

$AB=AC$

$\widehat{AHB}=\widehat{AIC}(=90^o)$

$\to \Delta ABH=\Delta CAI$(cạnh huyền-góc nhọn)

$\to BH=AI$

b.Ta có:

$BH^2+CI^2=AI^2+CI^2=AC^2$ không đổi

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A, M$ là trung điểm $BC$

$\to AM$ đồng thời là đường cao $\Delta ABC\to AM\perp BC\to AM\perp CD$

Mà $CI\perp AD, CI\cap AM=N\to N$ là trực tâm $\Delta ACD\to DN\perp AC$

d.Ta có: $AM\perp BC,\hat C= \hat B=45^o\to \Delta AMB,\Delta AMC$ vuông cân tại $M\to MA=MB$

Từ câu a $\to\widehat{ABH}=\widehat{IAC}$

$\to\widehat{HBM}=\widehat{ABH}-\widehat{ABM}=\widehat{ABH}-45^o=\widehat{IAC}-45^o=\widehat{IAC}-\widehat{MAC}=\widehat{IAM}$

Xét $\Delta MBH,\Delta MAI$ có:

$MB=MA$

$\widehat{MBH}=\widehat{MAI}$

$BH=AI$

$\to \Delta MBH=\Delta MAI(c.g.c)$

$\to MH=MI,\widehat{BMH}=\widehat{AMI}$

$\to \widehat{IMH}=\widehat{IMB}+\widehat{BMH}=\widehat{IMB}+\widehat{AMI}=\widehat{AMB}=90^o$

$\to \Delta MIH$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{HIM}=45^o=\dfrac12\widehat{DIC}$

$\to IM$ là phân giác $\widehat{HIC}$