a)

Xét $\Delta ACH$ và $\Delta BCA$, ta có:

+   $\widehat{C}$ là góc chung

+   $\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $

$\to \Delta ACH\sim\Delta BCA\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta HAB$ và $\Delta HCA$, ta có:

+   $\widehat{HAB}=\widehat{HCA}$ (cùng phụ $\widehat{B}$)

+   $\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90{}^\circ $

$\to \Delta HAB\sim\Delta HCA\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to H{{A}^{2}}=HB.HC$

c)

Xét $\Delta HDA$ và $\Delta HEC$, ta có:

+   $\widehat{DHA}=\widehat{EHC}=45{}^\circ $

+   $\widehat{HAD}=\widehat{HCE}$ (cùng phụ $\widehat{B}$)

$\to \Delta HDA\sim\Delta HEC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HD}{HE}=\dfrac{HA}{HC}$

Mà $\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}$ (vì $\Delta ACH\sim\Delta BCA$)

$\to \dfrac{HD}{HE}=\dfrac{AB}{AC}$

d)

Gọi $G$ là trung điểm của $DE$

$\to GD=GE=GA=GH$

$\Delta HGE$ cân tại $G\to \widehat{HGE}=2\widehat{GDH}\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\widehat{HGE}+\widehat{AGE}+\widehat{AGH}=360{}^\circ $

$\to \widehat{HGE}+180{}^\circ -2\widehat{GAE}+180{}^\circ -2\widehat{GAH}=360{}^\circ $

$\to \widehat{HGE}=2\widehat{GAE}+2\widehat{GAH}$

$\to \widehat{HGE}=2\widehat{FAE}\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to \widehat{GDH}=\widehat{FAE}$

$\to \Delta FDH\sim\Delta FAE\left( g.g \right)$

$\to \widehat{FHD}=\widehat{FEA}=45{}^\circ $

$\to \Delta ADE$ vuông cân tại $A$

$\to AD=AE$