Đáp án:

 b) $M = \dfrac{{ - 1}}{2}$ 

c) $H\left( {6;18} \right)$

Giải thích các bước giải:

 a) Đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{2}{x^2}$ là một parabol $(P)$ có:

+) Đỉnh $(0;0)$

+) Trục đối xứng $x=0$

+) Bề lõm hướng lên trên do $a>0$

+) Đi qua các điểm $(0,0);(2,2);(-2,2);(4,8);(-4,8)$

b) Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=\dfrac{1}{2}{x^2}$ và đồ thị hàm số $y=x+M$ là:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}{x^2} = x + M\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2M = 0\left( 1 \right)
\end{array}$

Để $(d)$ tiếp xúc $(P)$ tại duy nhất một điểm

$ \Leftrightarrow $ Phương trình $(1)$ có nghiệm kép

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta ' = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 2M} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow M = \dfrac{{ - 1}}{2}
\end{array}$

Vậy $M = \dfrac{{ - 1}}{2}$ thỏa mãn đề.

c) Gọi điểm $H(x_0;y_0)(x_0;y_0\ne 0)$ là điểm thỏa mãn đề

Khi đó:

$H\in (P)$ nên ${y_0} = \dfrac{1}{2}x_0^2$

Mà $y_0=3x_0$ như giả thiết 

Nên ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}x_0^2 = 3{x_0}\\
 \Leftrightarrow x_0^2 - 6{x_0} = 0\\
 \Leftrightarrow {x_0}\left( {{x_0} - 6} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow {x_0} = 6\left( {do:{x_0} \ne 0} \right)\\
 \Rightarrow {y_0} = 3{x_0} = 18\\
 \Rightarrow H\left( {6;18} \right)
\end{array}$

Vậy $H\left( {6;18} \right)$ thỏa mãn đề.