Đáp án:

a) \(12W\)

b) \(9,6W\)

Giải thích các bước giải:

a) Gọi điện trở mạch ngoài là R.

Cường độ dòng điện trong mạch là:

\(I = \dfrac{\xi }{{R + r}} = \dfrac{{12}}{{R + 3}}\)

Công suất mạch ngoài là:

\(P = {I^2}R = {\left( {\dfrac{{12}}{{R + 3}}} \right)^2}.R = \dfrac{{144R}}{{{{\left( {R + 3} \right)}^2}}}\)

Áp dụng BĐT Cô si:

\(P = \dfrac{{144R}}{{{{\left( {R + 3} \right)}^2}}} \le \dfrac{{144R}}{{4.R.3}} = 12W\)

Dấu = xảy ra khi: \(R = 3\Omega \)

Suy ra: 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{12{R_2}}}{{12 + {R_2}}} = 3\\
 \Rightarrow 12{R_2} = 3\left( {12 + {R_2}} \right)\\
 \Rightarrow {R_2} = 4\Omega 
\end{array}\)

b) Điện trở tương đương là:

\(R = \dfrac{{{R_1}{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} = \dfrac{{12{R_2}}}{{12 + {R_2}}}\)

Cường độ dòng điện mạch chính:

\(I = \dfrac{\xi }{{R + r}} = \dfrac{{12}}{{\dfrac{{12{R_2}}}{{12 + {R_2}}} + 3}} = \dfrac{{12\left( {12 + {R_2}} \right)}}{{15{R_2} + 36}} = \dfrac{{4\left( {12 + {R_2}} \right)}}{{5{R_2} + 12}}\)

Cường độ dòng điện qua R2 là:

\({I_2} = \dfrac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}.I = \dfrac{{12}}{{12 + {R_2}}}.\dfrac{{4\left( {12 + {R_2}} \right)}}{{5{R_2} + 12}} = \dfrac{{48}}{{5{R_2} + 12}}\)

Công suất tiêu thụ trên R2 là:

\({P_2} = I_2^2{R_2} = {\left( {\dfrac{{48}}{{5{R_2} + 12}}} \right)^2}.{R_2} = \dfrac{{{{48}^2}.{R_2}}}{{{{\left( {5{R_2} + 12} \right)}^2}}}\)

Áp dụng BĐT Cô si:

\({P_2} \le \dfrac{{{{48}^2}{R_2}}}{{4.5{R_2}.12}} = 9,6W\)

Dấu = xảy ra khi: \(5{R_2} = 12 \Rightarrow {R_2} = \dfrac{{12}}{5}\Omega \)