Đáp án:

$C.\ 2$ 

Giải thích các bước giải:

$(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z + 1 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 4$

$(S)$ có tâm $I(1;0;-2),\ R = 2$

$d: \begin{cases}x = 2 -t\\y = t\\z = m + t\end{cases}\quad (t\in\Bbb R)$

Tọa độ giao điểm giữa $d$ và $(S)$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}x = 2 -t\\y = t\\z = m + t\\(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 4\end{cases}$

$\Leftrightarrow (1-t)^2 + t^2 + (m+2+t)^2 = 4$

$\Leftrightarrow 3t^2 + 2(m+2)t + m^2 + 4m + 1 =0\qquad (*)$

$d$ cắt $(S)$ tại `2` điểm $\Leftrightarrow (*)$ có `2` nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta_{(*)}' >0$

$\Leftrightarrow (m+2)^2 - 3(m^2 + 4m + 1) >0$

$\Leftrightarrow \dfrac{-4 - 3\sqrt2}{2} < m < \dfrac{-4 + 3\sqrt2}{2}$

Với $t_1,\ t_2$ là hai nghiệm của $(*)$ ta được hai điểm $A,\ B$ tương ứng:

$\begin{cases}A(2-t_1;t_1;m+t_1)\\B(2- t_2;t_2;m+t_2)\\t_1 + t_2 = -\dfrac23(m+2)\\t_1t_2 = \dfrac13(m^2 + 4m + 1)\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA} = (t_1 - 1;t_1;t_1 + m + 2)\\\overrightarrow{IB} = (t_2 - 1;t_2;t_2 + m + 2)\\t_1 + t_2 = -\dfrac23(m+2)\\t_1t_2 = \dfrac13(m^2 + 4m + 1)\end{cases}$

Hai tiếp diện tại $A,\ B$ vuông góc nhau

$\Leftrightarrow \overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IB} = 0$

$\Leftrightarrow (t_1 - 1)(t_2 - 1) + t_1t_2 + (t_1 + m + 2)(t_2 + m + 2) =0$

$\Leftrightarrow (m+1)(t_1 + t_2) + 3t_1t_2 + m^2 + 4m + 5 =0$

$\Leftrightarrow - \dfrac23(m+2)(m+1) + (m^2 + 4m + 1) + m^2 +4m + 5 =0$

$\Leftrightarrow 2m^2 + 9m + 7 =0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -1\\m = - \dfrac72\end{array}\right.\qquad$ (nhận)