Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_{n + 1}} = \frac{{2{u_n} + {u_{n - 1}}}}{3}\\
 \Leftrightarrow 3{u_{n + 1}} = 2{u_n} + {u_{n - 1}}\\
 \Leftrightarrow 3{u_{n + 1}} - 3{u_n} =  - {u_n} + {u_{n - 1}}\\
 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} =  - \frac{1}{3}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)
\end{array}\)

\({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_n} =  - \frac{1}{3}{v_{n - 1}}
\end{array} \right.\)

Do đó, (vn) là một CSN có số đầu v1=1, công bội q=-1/3

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{v_n} =  - \frac{1}{3}{v_{n - 1}}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 1\\
{v_2} =  - \frac{1}{3}\\
{v_3} = \frac{1}{9}\\
....\\
{v_n} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_2} - {u_1} = 1\\
{u_3} - {u_2} =  - \frac{1}{3}\\
{u_4} - {u_3} = \frac{1}{9}\\
.....\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + .... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - ... + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\\
 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_1} = \frac{{{{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^n} - 1}}{{\left( { - \frac{1}{3}} \right) - 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2004 + \frac{{3\left( {1 - {{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^n}} \right)}}{4}
\end{array}\)