`a,`

Kéo dài `OC` cắt `BD` tại `M`

Ta có :

$\widehat{OBD}$ `+` $\widehat{OBM}$ `= 180^o` ( hai góc kề bù)

Mà $\widehat{OBD}$ `= 90^o ( DB \bot AB)`

`=>` ` $\widehat{OBM}$ `= 90^o`

Ta có :

`CA \bot AB =>`$\widehat{CAO}$ `=90^o`

Xét `\DeltaCAO` và `\DeltaMBO` , ta có :

$\widehat{CAO}$ `=` $\widehat{OBM}$ ( `=90^o`)

`AO = BO` `(O` trung điểm `AB)`

$\widehat{COA}$ `=` $\widehat{MOB}$ ( hai góc đối đỉnh)

`=>` `\DeltaCAO =\DeltaMBO` `(g.c.g)`

`=> CA = BM` ( hai cạnh tương ứng)

Ta có :

$\widehat{COD}$ + $\widehat{MOD}$ `=180^o` ( hai góc kề bù)

`90^o +` $\widehat{MOD}$ `=180^o`

`=>` $\widehat{MOD}$  `=90^o`

Xét `\DeltaCOD` và `\DeltaMOD` , ta có :

`CO = MO` ( `\DeltaCAO =\DeltaMBO`)

$\widehat{COD}$ = $\widehat{MOD}$ `(=90^o)`

`OD` cạnh chung

`=>` `\DeltaCOD` = `\DeltaMOD`  `(c.g.c)`

`=> CD = DM` ( hai cạnh tương ứng) `(1)`

Ta có :

`DM = DB + BM`

Mà `BM = AC` ( cmt)

`=> DM = DB + AC` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> AC+BD = CD`

`b,`

Ta có :

`O` trung điểm `AB`

`=> OA=OB =1/2AB`

Xét `\DeltaCAO` vuông tại `A` ( $\widehat{CAO}$ `=90^o`), ta có :

`AC^2 + OA^2 = OC^2` ( đlí pytago)

`=> AC^2 + (1/2AB)^2  = OC^2`

`=> AC^2 + 1/4AB^2 = OC^2` `(3)`

Xét `\DeltaDBO` vuông tại `B` ( $\widehat{OBD}$ `= 90^o`), ta có :

`BD^2 + OB^2 = DO^2` ( đlí pytago)

`=> BD^2 + (1/2AB)^2 = DO^2`

`=> BD^2 + 1/4AB^2= DO^2` `(4)`

Xét `\DeltaCOD` vuông tại `O` ( $\widehat{COD}$ `=90^o`), ta có:

`OC^2 + DO^2 = CD^2` (đlí pytago)

`=> OC^2 + OD^2 = ( AC + BD)^2`

`=> OC^2 + DO^2 = AC^2 + BD^2 + 2.AC.BD` `(5)`

Từ `(3)` , `(4)` và `(5)`

`=> AC^2 + 1/4AB^2+ BD^2+1/4AB^2=AC^2+BD^2 + 2.AC.BD`

`=> 1/2AB^2 = 2.AC.BD`

`=> 1/2AB^2 . 1/2 = AC.BD`

`=> 1/4AB^2 = AC.BD`

`=>( AB^2)/4 = AC.BD`

@UCKSWT