a)

Theo hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:

$\bullet \,\,\,A{{H}^{2}}=BH.CH\to AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{2.8}=4cm$

$\bullet \,\,\,A{{B}^{2}}=B{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\to AB=\sqrt{B{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}cm$

$\bullet \,\,\,A{{C}^{2}}=C{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}\to AC=\sqrt{C{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{8}^{2}}+{{4}^{2}}}=4\sqrt{5}cm$

b)

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$

$\to HD.AB=AH.BH$  (hệ thức lượng)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$

$\to HE.AC=AH.CH$

Chia vế theo vế:

$\to \dfrac{HD.AB}{HE.AC}=\dfrac{AH.BH}{AH.CH}=\dfrac{BH}{CH}$

$\to \dfrac{HD.2\sqrt{5}}{HE.4\sqrt{5}}=\dfrac{2}{8}$

$\to \dfrac{HD}{HE}=\dfrac{1}{2}$

$\to HE=2HD$

c)

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90{}^\circ $

$\to ADHE$ là hình chữ nhật

Ta có $\widehat{MBD}=\widehat{HAE}=\widehat{HDE}=\widehat{MDB}$

$\to \Delta MBD$ cân tại $M\to MB=MD$

Ta có $\widehat{MHD}=\widehat{HAD}=\widehat{HED}=\widehat{MDH}$

$\to \Delta MHD$ cân tại $M\to MH=MD$

$\to MB=MH\to M$ là trung điểm $BH$

Tương tự: $N$ là trung điểm $CH$

Ta có:

$ADHE$ là hình chữ nhật $\to {{S}_{\Delta HDE}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ADHE}}$

$M$ là trung điểm $BH\to {{S}_{\Delta MHD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta BHD}}$

$N$là trung điểm $CH\to {{S}_{\Delta NHE}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta CHE}}$

$\to {{S}_{\Delta HDE}}+{{S}_{\Delta MHD}}+{{S}_{\Delta NHE}}=\dfrac{1}{2}\left( {{S}_{ADHE}}+{{S}_{\Delta BHD}}+{{S}_{\Delta CHE}} \right)$

$\to {{S}_{DENM}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{4}\cdot 2\sqrt{5}\cdot 4\sqrt{5}=10c{{m}^{2}}$