a, ΔOBC cân tại O có OI là trung tuyến

⇒ OI cũng là đường cao hay OI ⊥ BC

⇒ $\widehat{AIC} = 90^o$ 

CH ⊥ AE ⇒ $\widehat{AHC} = 90^o$ 

$\widehat{AIC} = \widehat{AHC}=90^o$

I , H cùng nhìn cạnh AC dưới một góc $90^o$

⇒ Tứ giác AIHC nội tiếp đường tròn đường kính (AC)

⇒ A , I , H , C cùng thuộc đường tròn đường kính (AC) (đpcm)

b, A là điểm chính giữa $\stackrel\frown{BC}$ ⇒ sđ$\stackrel\frown{AB}$ = sđ$\stackrel\frown{AC}$

$\Delta ABC$ có $AI$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên $\Delta ABC$ cân đỉnh A nên $AB=AC$

Xét $\Delta ACD$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{ACD}=\widehat{AEC} $ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

$\Rightarrow \Delta ACD\sim\Delta AEC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AE.AD=AC^2=AB^2$

c, ΔCOI vuông tại I $⇒ \sin\widehat{COI}= \dfrac{CI}{OC} = \dfrac{\frac{BC}{2}}{OC}$

$= \dfrac{\frac{\sqrt[]{3}R}{2}}{R} = \dfrac{\sqrt[]{3}}{2}$

$⇒ \widehat{COI} = 60^o$

ΔCOA cân tại O (OA = OC = R) có $\widehat{COI} = 60^o$

⇒ ΔCOA đều ⇒ AC = OA = R

d, $S_{MAC}$ max ⇔ $\dfrac{1}{2}$.AH.MC max

Tứ giác ACIH nội tiếp ⇒ $\widehat{IHD}$ = $\widehat{ACI}$ = $\widehat{AEB}$

⇒ HI ║ EB ⇒ H là trung điểm của CM

⇒ $S_{MAC}$ = $\dfrac{1}{2}$.AH.MC = AH.CH ≤ $\dfrac{AH^2+CH^2}{2}=\dfrac{AC^2}2$ 

Dấu "=" xảy ra ⇔ AH = CH

⇔ ΔACH vuông cân tại H

⇔ $\widehat{HAC}$ = $45^o$ ⇔ $\widehat{EAC}$

⇒ Cách dựng điểm E:

Qua A dựng $\widehat{EAC}$ = $45^o$ (E ∈ (O))