`a)`

Xét `\Delta AB'N` và `\Delta NBC` có :

$\bullet$ `AN = NC ( N` là trung điểm của `AC )`

$\bullet$ `\hat(ANB') = \hat(BNC) (` đối đỉnh `)`

$\bullet$ `NB' = NB ( N` là trung điểm của `BB')`

`-> \Delta NAB' = \Delta NCB ( c - g - c )`

`-> AB' = BC ( 2` cạnh tương ứng `)`

Và `\hat(AB'N) = \hat(NBC) ( 2` góc tương ứng `)`

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong 

`-> AB' //// BC ( 1 )`

Xét `\Delta AC'M` và `\Delta MBC` có :

$\bullet$ `AM = MB ( M` là trung điểm của `AB )`

$\bullet$ `\hat(AMC') = \hat(BMC) (` đối đỉnh `)`

$\bullet$ `MC' = MC ( M` là trung điểm của `CC' )`

`-> \Delta MAC' = \Delta MBC ( c - g - c )`

`-> AC' = BC `

Và `\hat(AC'M) = \hat(MCB) ( 2` góc tương ứng `)` 

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong 

`-> AC' //// BC ( 2 )`

Từ `(1),(2) -> 3` điểm `A , B' , C'` thẳng hàng `(` Tiên đề Ơ-cơ-lít `)`

`-> B'C' //// BC`

`b)`

Ta có : `{(AB' = BC ( cmt )),(AC' = BC ( cmt )):}`

`-> AB' = AC'`

Mà `3` điểm `A,B',C'`  thẳng hàng

`-> A` là trung điểm của `B'C'`