Gọi phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng $x-y+1=0$ có dạng $x-y+c=0, c \ne 1$

Phương trình đường tròn có tâm $I(-2;1)$ và $R=\sqrt 2$

$\begin{array}{l} d\left( {I,d'} \right) = R\\  \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1.\left( { - 2} \right) - 1.1 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \\  \Leftrightarrow \left| {c - 3} \right| = 2\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c - 3 = 2\\ c - 3 =  - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} c = 5\\ c = 1 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x - y + 5 = 0(N)\\ x - y + 1 = 0(L) \end{array} \right. \end{array}$

Đáp án:

$x-y+5=0$ 

Giải thích các bước giải: GỌi phương trình tiếp tuyến có dạng : $(\Delta):ax+by+c=0$

 Do Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng $(d)x-y+1=0$ nên tiếp tuyến cần tìm có chung vectơ pháp tuyến với đường thẳng $(d)x-y+1=0$:

$\Delta :x-y+c=0$

Tâm đường tròn : $I(-2;1)$

Bán kính : $R=\sqrt{2}$

Mà Phương trình đường thẳng $\Delta$ lại là tiếp tuyến của đường tròn nên khoảng cách từ tâm I đến $\Delta $ bằng bán kính :

$d_{(I;d )}=\dfrac{|-2-1+c|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow |-3+c|=2$
\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}c=5\\c=1\end{array} \right.\) 

Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng :

$x-y+5=0$ hoặc $x-y+1=0$

mà do đường thẳng này song song với đường thẳng $x-y+1=0$ nên :

Phương trình đường thẳng cần tìm là :

$x-y+5=0$