a.

Đặt đường trụng trực AB đó là DI

Ta có:

Vì DI là đường trung trực của AB nên DA = DB (1)

và DI ⊥ AC ⇒ DI // AC (cùng vuông góc với AB) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ DI là đường trung bình của ΔABC

⇒ IB = IC

⇒AI là đường trung tuyến của ΔABC

Mà ΔABC vuông tại A

⇒AI = IB = IC

⇒ΔAIB và ΔAIC cân tại I

b.

Xét 2Δ vuông:

ΔMIB và ΔMIC có:

IB = IC (câu a)

M chung

⇒ ΔMIB = ΔMIC (c.g.c) (3)

⇒ ∠ACM = ∠ACB (c.g.t.ư)

và ∠MCB = ∠MBC

⇒ ∠ABC = 2∠ACB (∠ABC là ∠MBC nha)

Mà ΔABC vuông tại A 

⇒ ∠ACB + ∠MBC = 90 độ 

⇒ ∠ACB + 2∠ACB = 90 độ

⇒ 3∠ACB = 90 độ

⇒ ∠ACB = 30 độ

⇒ ∠ABC = 60 độ (4) ⇒ ΔAIB đều (6)

C/m tương tự với ΔIBM ⇒ ∠IMB = 30 độ

⇒∠ACB = ∠IMB = 30 độ

Từ (3) lại ⇒ MB = MC

⇒ ΔBMC cân tại M (5)

Từ (4) và (5) ⇒ ΔBMC đều

Mà AC ⊥ BM ⇒ CA là đường trung tuyến của ΔBMC

AM = AB

Từ (6) ⇒ AB= BI ⇒ AM = IC 

Xét 2Δ vuông:

ΔAMN và ΔICN có:

∠ACB = ∠IMB (c/m)9

AM = IC (c/m)

⇒ ΔAMN = ΔICN (g.c.g)

⇒ NM = NC (c.c.t.ư)

⇒ N ∈ đường trung trực của CM (7)

Mà BC = BM ( ΔBMC đều )

⇒ B ∈ đường trung trực của CM (8)

Từ (7) và (8) ⇒ BN là đường trung trực của CM

⇒ BN ⊥ CM hay BE ⊥ CM (đpcm)

c.

VÌ BE ⊥ CM ⇒ BE là đường trung tuyến của ΔBMC

⇒ EC = EM

Mà AM = AB

⇒ AE là đường trung bình của ΔBMC ⇒ AE // BC

[Nếu tui có ghi sai chính tả hay gì thì nhẹ nhàng chỉ bảo giúp tui nha~ v]