Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC (1)$

$M$ là trung điểm $AC \Rightarrow AM=MC=\dfrac{AC}{2} (2)$

$N$ là trung điểm $AB \Rightarrow AN=NB=\dfrac{AB}{2} (3)$

$(1)(2)(3) \Rightarrow AM=MC=AN=NB$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ANC$

$AM=AN$

$\widehat{BAC}:$ chung

$AB=AC\\ \Rightarrow \Delta AMB = \Delta ANC (c.g.c)\\ \Rightarrow BM=CN, \widehat{ABM}=\widehat{ACN}$

$b) \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{B_1}=\widehat{C_1} (\widehat{ABM}=\widehat{ACN}) $

$\Rightarrow \widehat{ABC}-\widehat{B_1}=\widehat{ACB}-\widehat{C_1} \\ \Leftrightarrow \widehat{B_2}=\widehat{C_2} $

$\Rightarrow \Delta IBC$ cân tại $I$

$c) \Delta IBC$ cân tại $I$

$\Rightarrow IB=IC$

Xét $ \Delta AIB$ và $\Delta AIC:$

$AI:$ chung

$AB=AC\\ IB=IC\\ \Rightarrow \Delta AIB = \Delta AIC(c.c.c)\\ \Rightarrow \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$$\Rightarrow AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$d) \Delta ABC$ cân tại $A, AI$ là phân giác $\widehat{BAC}$ đồng thời là đường cao $\Delta ABC$

$ \Rightarrow AI \perp BC.$