Đáp án:

`a,`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC} = hat{ACB} = (180^o - hat{A})/2` `(1)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + BD = AD\\AC + CE = AE\end{array} \right.\)

mà `AB = AC, BD = CE`

`-> AD = AE`

`-> ΔADE` cân tại `A`

`-> hat{ADE} = hat{AED} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{ABC} = hat{ADE} (= (180^o - hat{A})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ BC//DE$

$\\$

$\\$

$b,$

Có : `hat{ABC} = hat{DBM}` (2 góc đối đỉnh)

Có : `hat{ACB} = hat{ECN}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{ABC} = hat{ACB}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> hat{DBM} = hat{ECN}`

Xét `ΔDBM` và `ΔECN` có :

`hat{DMB} = hat{ENC} = 90^o`

`hat{DBM} = hat{ECN}` (chứng minh trên)

`BD = CE` (giả thiết)

`-> ΔDBM = ΔECN` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> BM = CN` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\4

$c,$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ABM}=180^o\\ \widehat{ACB}+\widehat{ACN}=180^o\end{array} \right.\) (2 góc kề bù)

mà `hat{ABC} = hat{ACB}`

`-> hat{ABM} = hat{ACN}`

Xét `ΔABM` và `ΔACN` có :

`hat{ABM} = hat{ACN}` (chứng minh trên)

`BM = CN` (chứng minh trên)

`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔABM =ΔACN` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AM = AN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAMN` cân tại `A`

$\\$

$\\$

$d,$

Gọi `K` là giao của `BI` và `AM`

và `H` là giao của `CI` và `AN` 

Xét `ΔMKB` và `ΔNHC` có :

`hat{MKB} = hat{NHC} = 90^o`

`BM = CN` (chứng minh trên)

`hat{M} = hat{N}` (Do `ΔAMN` cân tại `A`)

`-> ΔMKB = ΔNHC` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> BK = CH` (2 cạnh tương ứng)

và `MK = NH` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AK = AM - MK\\AH = AN - NH\end{array} \right.\)

mà `AM = AN, MK = NH`

`-> AK = AH`

Xét `ΔAKI` và `ΔAHI` có :

`hat{AKI} = hat{AHI} = 90^o`

`AK = AH` (chứng minh trên)

`AI` chung

`-> ΔAKI = ΔAHI` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{KAI} = hat{HAI}` (2 góc tương ứng)

hay `AI` là tia phân giác của `hat{MAN}` `(3)`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}BI = KI - BK\\CI = HI - CH\end{array} \right.\)

mà `KI = HI` (Do `ΔAKI  = ΔAHI`), `BK = CH`

`-> BI = CI`

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có :

`AI` chung

`AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BI = CI` (chứng minh trên)

`-> ΔABI = ΔACI` (cạnh - cạnh - cạnh)

`-> hat{BAI} = hat{CAI}` (2 góc tương ứng)

hay `AI` là tia phân giác của `hat{BAC}` `(4)`

Từ `(3), (4)`

`-> AI` là tia phân giác chung của `hat{BAC}` và `hat{MAN}`

Đáp án:

Giải thích các bước giải: