Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Xét `2 ΔABN` và `ΔACM` ta có:

        `∠A` chung

        `AN=AM`(gt)

        `AB=AC`(t/c `Δ` cân)

    `⇒ΔABN=ΔACM``(c-g-c)`

    `⇒BN=CM`(2 cạnh tương ứng)

Nối `MN`

Ta có:  `AM=AN;AB=AC`

`⇒MB=AB-AM`

`⇒NC=AC-AN`

`→MB=NC`

Xét `2ΔMNB` và `ΔNMC` ta có:

   `MN` cạnh chung

   `MB=NC`(`cmt`)

   `NB=MC`(`cmt`)

`⇒ΔMNB=ΔNMC``(c-c-c)`

`⇒∠MNB=∠NMC`(`2` góc tương ứng)

`→ΔMNI` cân tại `I⇒MI=NI`

Ta có:`MI=NI;NB=MC`

`⇒BI=BN-NI`

`⇒CI=MC-MI`

`→BI=CI⇒ΔBIC` cân tại `I`

b)Gọi `H` là giao điểm của `AI` và `BC`

Ta có:`ΔMNB=ΔNMC(c-c-c)`

`⇒∠MBN=∠NCM` hay `∠ABI=∠ACI`

Xét `2ΔABI` và `ΔACI` ta có:

    `∠ABI=∠ACI(cmt)`

    `AB=AC`(t/c `Δ` cân)

    `BI=CI(cmt)`

`⇒ΔABI=ΔACI(c-g-c)`

`⇒∠A1=∠A2`(`2` góc tương ứng)

Xét `2ΔABH` và `ΔACH` ta có:

  `∠A1=∠A2(cmt)`

  `AB=AC`(t/c `Δ` cân)

  `∠B=∠C`(t/c `Δ` cân)

`⇒ΔABH=ΔACH(g-c-g)`

`⇒BH=CH`(`2`cạnh tương ứng)→`H` là trung điểm của `BC`(`1`)

`⇒∠H1=∠H2`(`2` góc tương ứng)

Ta có: `∠H1+∠H2=`$180^{o}$ 

Mà:`∠H1=∠H2=`$180^{o}$ `: 2`

`⇒∠H1=∠H2=`$90^{o}$ 

`→AH⊥BC` hay `AI⊥BC`(`2`)

Từ(`1`) và (`2`):

⇒`AH` là đường trung trực của `BC` hay `AI` là đường trung trực của `BC`