-Xét dãy số gồm 2002 số hạng sau:
20032003 …. 2003 2003 ….2003
2002 lần 2003
Chia tất cả các số hạng của dãy cho 2002 có 2002 số dư từ 1 đến 2002 (không thể có số dư 0 vì các số hạng của dãy là các số lẻ). Có 2002 phép chia, nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số có cùng số dư khi chia cho 2002.
Giả sử hai số đó là am và an (q,p N ); 1<=m <n< 2002)
Với am = 2003 2003… 2003 ; an = 2003 2003 … 2003

Ta có: (aq –ap) chia hết cho 2002
Hay 2003 2003 … 2003 00 ….0 chia hết 2002

Vậy tồn tại một số có dạng 2003 2003 … 2003 00 … 0 luôn chia hết cho 2002

Khi chia một số cho 2002 có tất cả 2002 số dư từ 0 đến 2001;

Xét dãy gồm 2003 số: 2003; 20032003; 200320032003, ...;200320032003...(gồm 2003 số 2003). khi chia các số trong dãy trên cho 2002 thì theo N.L Dirichle có ít nhất hai số chia cho 2002 có cùng số dư, nên hiệu của chúng chia hết cho 2002. Gọi hai số đó là 20032003...2003(gồm m số 2003) và 20032003...2003(gồm n số 2003), giả sử m<n, ta có:

20032003...2003(gồm n số 2003) - 20032003...2003(gồm m số 2003) Chia hết cho 2002

Vote 5 sao bạn nhé