Đáp án:

$a,$

Xét `ΔABK` và`ΔIBK` có :

`hat{ABK} = hat{IBK}` (giả thiết)

`BK` chung

`BA = BI` (giả thiết)

`-> ΔABK = ΔIBK` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

$b,$

Vì `BA = BI` (giả thiết)

`-> ΔABI` cân tại `B`

`-> hat{BAI} = hat{BIA}`

$\\$
Ta có : `hat{HAI} + hat{BIA} = 90^o`

Ta có : `hat{IAC} + hat{BAI} = 90^o`

mà `hat{BIA} = hat{BAI}`

`-> hta{HAI} = hat{IAC}`

hay `AI` là tia phân giác của `hat{HAC}`

$\\$

$\\$
$c,$

Gọi `D` là giao của `FK` cà `AI`

$\\$

Vì `ΔABK = ΔIBK` (chứng minh trên)

`-> hat{BAK} = hat{BIK} = 90^o` (2 góc tương ứng)

Ta có : `AH⊥BC, KI⊥BC`

$→ AH//KI$

`-> hat{FAD} = hat{KID}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Vì `ΔABI` cân tại `B`

`BD` là đường phân giác

`-> BD` là đường trung tuyến

$\\$

Xét `ΔAFG` cà `ΔIKD` có :

`AD = DI` (Vì `BD` là đường trung tuyến)

`hat{FDA} = hat{KDI}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{FAD} = hat{KID}` (chứng minh trên)

`-> ΔAFG = ΔIKD` (góc - cạnh - góc)

`-> AF = KI`

$\\$

Xét `ΔKIC` vuông tại `I` có :

`KC` là cạnh lớn nhất

`->  KC > KI`

mà `AF = KI`

`-> AF < KC`

$\\$

$\\$

$d,$

Kéo dài `IF` sao cho `IF` cắt `AB` tại `G`

Bạn c/m được `ΔFDI = ΔKDA` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{FID} = hat{DAK}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ GI//AC$

mà `AC⊥AB`

`-> GI⊥AB`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔABC` có :

`hat{C} = 180^o - (hat{A} + hat{B}) = 180^o - 90^o - 60^o = 30^o`

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔBGI` có :

`hat{I_1} = 180^o - (hat{B} + hat{BGI})= 180^o - 60^o - 90^o = 30^o`

$\\$

Bạn chứng minh được `ΔMAI = ΔCAI` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{HMI} = hat{C} = 30^o` (2 góc tương ứng)

$\\$

Áp dụng định lí tổng 3 góc cho `ΔHMI` có :

`hat{I_2} = 180^o - (hat{MHI} + hat{HMI}) = 180^o - 90^o - 30^o = 60^o`

$\\$

Ta có : `hat{MIF} = hat{I_1} + hat{I_2} = 30^o + 60^o = 90^o`

hay `IM⊥IF`

a) Xét ΔABK vuông tại A và ΔIBK vuông tại I có 

BK chung

Góc ABK= góc IBK  (BK là tia phân giác của góc ABI )

Do đó: ΔABK=ΔIBK(Cạnh huyền-góc nhọn)

b) Ta có: KI⊥⊥BC(gt)

AH⊥⊥BC(gt)

Do đó: KI//AH(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Suy ra: góc HAI= góc KIA= góc KIA(hai góc so le trong)(1)

Ta có: ΔABK=ΔIBK(cmt)

nên KA=KI(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔKAI có KA=KI(cmt)

nên ΔKAI cân tại K(Định nghĩa tam giác cân)

Suy ra: góc KAI= góc KIA (hai góc ở đáy)(2)

Từ (1) và (2) suy ra góc HAI= góc KAI

⇔góc HAI= góc CAI

Suy ra: AI là tia phân giác của góc HAC (Đpcm)

Chúc bạn học tốt ^^ & cho mình xin ctlhn ^^