a/ Xét \(ΔMHC\) và \(ΔBAC\):

\(\widehat C:chung\)

\(\widehat{MHC}=\widehat{BAC}(=90^\circ)\)

\(→ΔMHC\backsim ΔBAC(g-g)\)

Xét \(ΔMHC\) và \(ΔMHB\):

\(MH:chung\)

\(HB=HC\) (\(H\) là trung điểm \(BC\) )

\(\widehat{MHB}=\widehat{MHC}(=90^\circ)\)

\(→ΔMHC=ΔMHB(c-g-c)\) mà \(ΔMHC\backsim ΔMHB\)

\(→ΔMHB\backsim ΔBAC\)

b/ Xét \(ΔABC\) vuông tại \(A\):

\(AH\) là đường trung tuyến ứng \(BC\)

\(→AH=BH\)

\(ΔMHC=ΔMHB→MB=MC\) (2 cạnh tương ứng) mà \(MB=MC\)

\(→BH.CM=AH.BM\)

c/ \(EH⊥AB\) mà \(AB⊥AC→EH//HC\)

mà \(H\) là trung điểm \(BC\)

\(→\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(HF⊥AC\) mà \(AC⊥AB→HF//AB\)

mà \(H\) là trung điểm \(BC\)

\(→\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{1}{2}\) mà \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(→\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{AE}{AB}(=\dfrac{1}{2})\)

\(→EF//BC\) (Định lý Talet) mà \(BC⊥MH\)

\(→EF⊥MH\)

d/ Áp dụng định lý Pytago vào \(ΔABC\) vuông tại \(A\)

\(→AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12(cm)\)

\(AE=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{9}{2}=4,5(cm)\)

\(AF=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6(cm)\)

\(S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.9.15=67,5(cm^2)\)

\(S_{ΔAEF}=\dfrac{1}{2}.AE.AF=\dfrac{1}{2}.4,5.6=13,5(cm^2)\)

\(→S_{BEFC}=S_{ΔABC}-S_{ΔAEF}=67,5-13,5=54(cm^2)\)

Vậy \(S_{BEFC}=54(cm^2)\)