$\text{  a) Do AD và BE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G  }$

$\text{nên G là trọng tâm tam giác ABC  }$

`=>2/3 AG  =1/3 GD\ hay\ GD = 1/2 .AG\ hay\ AG = 2 GD`    `(1)`

`=>2/3 BG  =1/3 GE\ hay\ GE = 1/2 .BG\ hay\ BG = 2 GE`       `(2)`

$\text{  +) D là trung điểm của đoạn thẳng MG;   }$

$\text{  => GD=DM; =>GM=GD+DM=GD+GD=2GD                 (3)  }$

$\text{  Từ (1) và (3) => GM=GA (dpcm)  }$

$\text{  +) E là trung điểm của đoạn thẳng NG;   }$

$\text{  => GE=EN; =>GN=GE+EN=GE+GE=2GE                 (4)  }$

$\text{  Từ (2) và (4) => GN=BG (dpcm)  }$

-----------------------------------------------------------------------------

$\text{  b) Xét tam giác AGB và tam giác MGN ta có:  }$

$\text{  GA=GM (chứng minh trên)  }$

$\text{  góc AGB = góc MGN ( 2 góc đối đỉnh)  }$

$\text{  BG=GN (chứng minh trên)  }$

$\text{  tam giác AGB = tam giác MGN (cạnh-góc-cạnh)  }$

$\text{  => AB=MN ( 2 cạnh tương ứng) (đpcm)  }$

$\text{  => góc GAB = góc GMN ( 2 góc tương ứng)  }$

$\text{  Mà chúng lại ở vị trí hai góc so le trong  }$

$\text{  => MN//AB  }$