Giải thích các bước giải:

a.Vì AB là đường kính của (O) $\to AM\perp MB$ mà $KI\perp AB\to \widehat{KMB}+\widehat{KIB}=90^o+90^o=180^o$ 

$\to \Diamond BMKI$ nội tiếp

b.Ta có $\widehat{KAI}=\widehat{IDB}(+\widehat{MBA}=90^o)\to\Delta AKI\sim\Delta DBI(g.g)$

$\to\dfrac{AK}{BD}=\dfrac{AI}{BI}\to AI.BD=ID.AK$

c.Ta có $AM\cap BD ,DI\cap AB, AM\cap DI=K\to K$ là trực tâm $\Delta DAB\to BK\perp AD$

$\to N,K,B$ thẳng hàng (BN\perp AN)$

$\to \widehat{KMI}=\widehat{KBI}=\widehat{NMA}\to MA$ là  phân giác $\widehat{NMI}$

d.Gọi $MN\cap AB=E$ 

Ta có $\widehat{ENI}=\widehat{ENA}+\widehat{ANI}=\widehat{MBA}+\widehat{DBA}=2\widehat{OBM}=\widehat{MOE}$

$\to \Delta ENI\sim\Delta EOM(g.g)\to EN.EM=EI.EO$

Lại có $\Delta ENA\sim\Delta EBM(g.g)\to EN.EM=EA.EB$

$\to EA.EB=EI.EO\to EA.(EA+AB)=(EA+AI)(EA+AO)$

$\to EA^2+EA.AB=EA^2+EA.AO+AI.EA+AI.AO$

$\to 2EA.AO=EA.AO+AI.EA+AI.AO$

$\to EA.AO=AI.EA+AI.AO$

$\to EA(AO-AI)=AI.AO$

$\to EA.IO=AI.AO$

$\to EA=\dfrac{AI.AO}{OI}\to E$ cố định

$\to MN$ luôn đi qua E cố định