Đáp án:

 B2: $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Phương trình $\left( {1 - 3{m^2}} \right){x^3} - 3x - 1 = 0$

Đặt $f\left( x \right) = \left( {1 - 3{m^2}} \right){x^3} - 3x - 1$

Lại có:

$\begin{array}{l}
 + )f\left( 0 \right) =  - 1 < 0\\
 + )f\left( { - 1} \right) = \left( {1 - 3{m^2}} \right)\left( { - 1} \right) - 3\left( { - 1} \right) - 1 = 3{m^2} + 1 > 0,\forall m\\
 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0,\forall m
\end{array}$

$\to $ Phương trình $f(x)=0$ luôn có nghiệm với mọi $m$

$\to $ Phương trình $\left( {1 - 3{m^2}} \right){x^3} - 3x - 1 = 0$ luôn có nghiệm với mọi $m$

b) Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $AE\bot SD=E$

Ta có:

$BC\bot AD; BC\bot SA; SA\cap AD=A$

$\to BD\bot (SAD)$

$\to BD\bot AE$

Mà $AE\bot SD; SD\cap BD=D$
$\to AE\bot (SBC)$

$\to d(A,(SBC))=AE$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta SAD;\widehat A = {90^0};AE \bot SD = E;SA = a\sqrt 3 ;AD = AB.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\
 \Rightarrow AE = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}}}}}  = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}}}}  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\\
 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}
\end{array}$

Vậy $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}$