Đáp án:

 a.\(T = \frac{3}{2}\frac{P}{{\sin \alpha }}\)

\(Q = \frac{1}{2}P\sqrt {9{{\cot }^2}\alpha  + 1} \)

b.22 độ 1 phút

Treo vuông góc với thanh.

Giải thích các bước giải:

 a.Để thanh cân bằng thì mô men do lực căng dây phải bằng với mô men của trọng lực ta có:

\[\begin{array}{l}
T\sin \alpha .OB = P.OA\\
 \Rightarrow T = \frac{{OA}}{{OB\sin \alpha }}P = \frac{3}{2}\frac{P}{{\sin \alpha }}
\end{array}\]

Phản lực của bản lề trên hai phương là:

\[\begin{array}{l}
{Q_x} = T\cos \alpha  = \frac{3}{2}P\cot \alpha \\
{Q_y} = T\sin \alpha  - P = \frac{3}{2}P - P = \frac{1}{2}P
\end{array}\]

Phản lực tổng cộng là:

\[ \Rightarrow Q = \sqrt {{Q_x}^2 + {Q_y}^2}  = Q = \frac{1}{2}P\sqrt {9{{\cot }^2}\alpha  + 1} \]

Ta có:

\[\begin{array}{l}
{Q_{\min }} \Leftrightarrow \cot \alpha  = 0 \Rightarrow \alpha  = 90^\circ \\
{T_{\min }} \Leftrightarrow \sin \alpha \max  \Leftrightarrow \sin \alpha  = 1 \Rightarrow \alpha  = 90^\circ 
\end{array}\]

b.Vì dây treo chỉ chịu được lực tối đa là 4P nên ta có:

\[T = \frac{3}{2}\frac{P}{{\sin \alpha }} = 4P \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{3}{8} \Rightarrow \alpha  = 22^\circ 1'\]

Để lực căng dây nhỏ nhất thì dây phải treo vuông góc với thanh.